soarli博客 - 数学相关
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数学建模培训课程1第二章课堂笔记
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date: 2020-08-21T11:20:25+08:00
description: 二、建模课程一成比例及其应用注：两个变量x和y成比例是相互的。成比例的几何意义为过原点的一条直线。变量x和y只是一个符号。例一、测试比例性程序实现修改源程序，引入（0，0）点由上图可知，弹簧的伸长量和悬挂重物的质量成比例。拟合得出斜率k=0.0165，于是建立计算模型为e=0.0165m。例二、开普勒第三定律开普勒第三定律行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。行星在单位时间内扫过的面积不变。行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）。程序实现发现图线下凸，因此考虑优化程序：此时变成了一条上凸的图形，中间肯定有直线的过程酵母培养物增长的模型先画散点图时间和酵母数量显然不成比例，那么时间和酵母增量是否成比例？类似于二次函数的图像模型分析接下来考虑如何才能使得“改变量”与时间成直线关系？引入原点满足成比例的特性可以看出图中散点距离有点大，因此需要学习更好的拟合方法血流中地高辛含量衰血流中地高辛含量衰减的模型首先画出an和detan的散点图引入（0，0）点：得到一个很完美的过原点的散点图求出斜率k：动力系统的解法1.线性动力系统满足的模型。动力系统的解法线性动力系统解的长期趋势动力系统的应用1.地高辛的处方程序实现0.2是一个平衡点，一旦达到了这个值，系统永远停留在0.2处。不管起初始值低于或高于平衡点，最终都会趋向于平衡点。2.投资年金程序实现3.活期储蓄账户程序实现非线性动力系统程序实现改变r值为2.750，那么该非线性动力系统的解是如何形式？再一次改变r值：再一次改变r值：再一次改变r值：再一次改变r值：汽车租赁公司的模型问题引入继续尝试其他组合：对初始条件的敏感性及长期趋势：每一种情形在一周内都和平衡点很接近，暗示平衡点稳定且对初始条件不敏感。基于这些研究，我们倾向于预测该系统趋于平衡点，3/7的车到A市而4/7的车到B市。这些信息对该公司是有帮助的。数学建模的过程原型指人们在现实世界里所关心、研究或从事生产管理的实际对象。模型为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩，加以提炼而构造的原型的替代物。模型不是原型的原封不动的复制，它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。目的不同，建立的模型也不同同一个原型，为了不同的目的，可以有许多不同的模型，每个模型的特征是由构造模型的目的决定的。数学模型用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据、图表等）加以翻译、归纳所形成的公式、图表、计算机语言等。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预报，再经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经过现实的检验，完成实践一理论一实践的循环。数学建模指人们根据客观事物的特征，分析其内部机理，弄清其因果关系，并在适当的简化假设下，利用合理的数学工具得到描述事物特征的建立数学模型的过程。建立数学模型的过程1.识别问题要探究的问题是什么？这一步通常比较困难。因为现实生活中，没有人简单给你一个有待解决的数学问题，通常要从大量数据中识别所研究问题的某些特定的方面。此外，考虑到要把描述问题的口头陈述翻译成数学符号来表示，阐明问题是要足够的精确。2.模型假设首先，要通过减少考虑的因素的数目来进行简化；其次，必须确定余下的变量之间的关系；再次，通过假设相对简单的关系，能够降低问题的复杂性。假设有两个主要方面：变量分类：模型寻求解释的变量是因变量，可能有几个，余下的是自变量。每个变量分为因变量、自变量。另外还有参数。确定选择的变量之间的相互关系：如果问题比较复杂，可以分别研究自变量中的一个或几个，建立子模型，最后把子模型合在一起。3.求解或解释模型如果得到一个不能求解或不会解释的难以处理的模型，应该回到第二步做出另外的简化假设，甚至回到第一步重新定义问题。4.模型验证常识性验证：1、该模型是否回答了第一步识别的问题，是否偏离了构建该模型的关键问题。2、该模型在实用意义下是否有用，即是否能收集必要的数据来运作该模型。3、该模型是否有普遍意义。数据检验：要考虑到第二步中假设的自变量的取值范围问题。5.实施模型6.维修模型（改进模型）模型是从第一步问题识别和第二步所做的假设中推导出来的。原来的问题是否会变化？忽略的因素是否会变得重要？等等。车辆停止距离的模型在国外司机培训班上有下面的规定：正常的驾驶条件对车与车之间的跟随距离的要求是，每10英里的速率可以允许一辆车的长度的跟随距离，但不利的天气和道路的条件下要求更长的跟随距离。一种简便易行的方法是2秒钟法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随距离。看着你前面的汽车刚刚驶过的一个高速公路上的一个固定点，然后默数“一干零一，一干零二”（用英文就是2秒）。如果在默数完这句话之前就到了这个记号处，那么你的车和前面的车就靠的太近了。1.…

数学建模培训课程1第一章课堂笔记
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date: 2020-07-29T20:44:00+08:00
description: 一、Matlab语言基础Matlab概述1.MATLAB的发展2.MATLAB的优点3.MATLAB的工作环境4.帮助系统MATLAB变量1.MATLAB的特殊常量2.变量的命名规则3.变量的定义与赋值4.变量的显示5.变量的存取6.变量的清除7.变量的检查一维数组的创建与元素提取1.一维数组（向量）的创建2.一维数组中元素的提取二维数组的创建与元素提取1.二维数组（矩阵）的创建2.二维数组中元素的提取字符数组和空数组1.字符数组2.空数组矩阵的算术运算1.矩阵的基本算术运算2.矩阵的点（元素群）运算矩阵的关系运算和逻辑运算1.矩阵的关系运算2.矩阵的逻辑运算矩阵元素的处理1.矩阵元素的取整2.矩阵元素的取模和取余矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析1.矩阵的行列式2.矩阵的秩与迹矩阵的逆与线性方程组求解1.矩阵的逆2.线性方程组求解矩阵的分解与变换1.矩阵的分解2.矩阵的变换基本二维曲线绘制1.plot(y)对于矩阵，是按列连线：2.plot(x,y)绘图辅助操作1.颜色、标记和线型2.坐标轴标注和范围设置3.标题和图例标注（注释的位置）双纵坐标、多子图绘制1.双纵坐标绘图2.多子图绘制3.多图绘制三维数据可视化1.三维曲线绘制2.三维曲面绘制做动图不做要求：M文件1.M文件的创建、保存、打开和运行2.主程序文件和函数文件条件控制结构1.if条件控制结构思考：为什么不键入任何数直接回车程序会判断为odd？2.switch-case条件控制结构clear all ：清除一下之前用过的变量。循环控制结构1.for循环结构上程序与以下程序等价：2.while循环结构其他常用语句1.pause实现暂停功能2.input是一种人机交互命令M文件的注释和程序调试1.M文件的注释2.程序的调试数据分析函数库1.基本的数据分析2.用于随机数据分析的函数3.用于相关分析的函数多项式函数库1.多项式的四则运算2.多项式求导、求根和求值3.多项式拟合非线性函数分析及函数的数值积分1.非线性函数分析2.函数的数值积分线性微分方程的解线性微分方程的解——拉普拉斯变换法

数学建模培训课程2课堂笔记
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date: 2020-07-11T22:39:40+08:00
description: 一、简介数学建模的核心基本概念什么是数学模型数学结构数学模型数学建模的基本特征方法步骤数学建模的基本方法数学建模的步骤模型系统性的作用 假设的合理性合理假设应省遵循的原则现实问题与数学表达式数学建模的步骤竞赛写作国内外有哪些重要数学建模莞赛？数学建模赛题形式数学建模亮赛赛要求数学建模评阅标准论文写作结构论文写作的注意事项还有参考文献科研素养二、蛛网模型问题提出与蛛网模型市场经济中的蛛网模型的引入：决策者往往希望数量和价格在一定范围内波动的良性循环。为什么需要数量价格在一定范围内波动的良性循环额？市场经济中的蜡网模型目标：保持数量与价格之间的良性循环从单调性的角度考虑：p1背离p0的情况：上述两种情况（直观上的稳定与不稳定）在实际中都可能出现。数学建模中，需要对该理论进行分析。方程模型干预手段与模型推广经济不稳定时决策者的干预办法模型的推广三、微分方程模型引言微分方程建模方法人口模型方程（2）是一个差分方程，可处理离散时间（如几年内）的人口数量情况。指数增长模型预报未来若千年的人口数指数增长模型（Malthus模型）模型求解模型检验马尔萨斯模型与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合，可用于短期人口增长预测，不符合19世纪后多数地区人口增长规律。阻滞增长模型在马尔萨斯模型的基础上，考虑这个模型中度量人口增长率的比例因子k。由此建立的模型叫做阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长膜型（Logistic模型）总结：logistic模型不仅适用于物种数量的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用。年龄结构模型指数增长模型和Logistic模型都不涉及年龄结构，接下来讨论年龄结构模型。考虑年龄结构和生育模式的人口模型人口发展方程模型建立人口控制模型评价模型应用本节：只考虑自然的出生、死亡，不计迁移等社会因素的影响，建立了考虑年龄结构和生育模式的人口模型，最后讨论了模型的应用。四、排队模型实例与问题在日常生活中，因为人数众多等原因，排队的现象很常见如何缩短和优化排队等候的时间？排队实例与问题概念与原理什么是排队系统？排队模型的几个步骤游乐场排队建模案倒分析--游乐园排队：快速通过系统（FP）模型的假设第一个假设：fp系统统计之后，计算出顾客返回的时间间隔或时间点或时间窗。第二个假设：第三个假设：第四个假设：泊松过程（Poisson Process）问题分析模型1的建立-目标函数模型2-边山车排队模型求解与改进模型2的求解-边山车模型过山车模型的仿真模型的改进五、线性规划模型问题提出与线性规划模型规划模型的一般形式厂长最关心的问题：技术问题？规模问题？人工问题？生产计划中的线性规划模型实际问题生产计划问题的表格形式家具生产的例子规划模型是在一组限制条件下求函数的最大/小值问题。线性规划模型特点及标准形式问题线性规划模型的一般式模型规范与图解法线性规划模型的标准型（standard model）非规范性模型转换为规范型模型步骤把线性规划模型化为标准型于是，原规划问题转换成为如下标准型线性规划求解--图解法单纯形法求解线性线性规划求解--单纯形法（Dantzing，1947）用MATLAB优化工具箱解线性规划一个例子：六、动态规划模型动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法，该方法将一系列较难的多阶段决策问题化为一系列简单的单阶段决策问题。其中，多阶段决策问题概念如下：用动态规划模型可以解决的问题：基本概念一、阶段把所要处理的问题合理地划分成若干个相互联系的阶段，通常用K表示阶段变量。二、状态和状态变量三、决策和决策变量四、策略和子策略五、状态转移方程六、指标函数和最优指标函数动态规划的原理最优性原理动态规划的数学模型投资分配问题案例一同理可求出：背包问题旅行者携带物品问题：问：此人应如何选择携带物品的件数，使其作用最大？工厂里的下料问题，运擒中的货物装载问题，人造卫星内的物品装载问题等同样属于背包问题！求背包问题的最优解仿照背包问题求解练习题动态规划算法与贪心算法的区别贪心算法：1.贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。2.由（1）中的介绍，可以知道贪心法正确的条件是：每一步的最优解一定包含上一步的最优解。动态规划算法：1.全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解2.动态规划的关键是状态转移方程，即如何由以求出的局部最优解来推导全局最优解3.边界条件：即最简单的，可以直接得出的局部最优解贪心法的基本思路：从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。该算法存在问题：1. 不能保证求得的最后解是最佳的…

概率论与数理统计课堂笔记
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date: 2020-03-26T19:46:00+08:00
description: 老师授课视频：点击观看概率论部分第一章：概率论的基本概念点击查看笔记第二章：一维随机变量及其分布点击查看笔记1-2章单元测试：点击查看题目/答案第三章：多维随机变量及其分布点击查看笔记第四章：随机变量的数字特征点击查看笔记3-4章单元测试：点击查看题目/答案第五章：大数定律与中心极限定理点击查看笔记数理统计部分第六章：抽样与抽样分布点击查看笔记第6章单元测试：点击查看题目/答案第七章：参数估计点击查看笔记第7章单元测试：点击查看题目/答案第八章：假设检验点击查看笔记第8章单元测试：点击查看题目/答案第九章：方差分析点击查看笔记

【机器学习】高等数学相关知识点
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date: 2020-02-20T17:25:00+08:00
description: 部分数学公式在部分手机上竖屏无法显示完全，横屏浏览即可解决。高等数学1.导数定义：导数和微分的概念$f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）或者：$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ （2）2.左右导数导数的几何意义和物理意义函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：左导数：${{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$右导数：${{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$3.函数的可导性与连续性之间的关系Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。Th3: ${f}'({{x}_{0}})$存在$\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})$4.平面曲线的切线和法线切线方程 : $y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$法线方程：$y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$5.四则运算法则设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则(1) $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$(2)$(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$(3) $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$6.基本导数与微分表(1) $y=c$（常数） ${y}'=0$ $dy=0$(2) $y={{x}^{\alpha }}$($\alpha $为实数) ${y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$(3) $y={{a}^{x}}$ ${y}'={{a}^{x}}\ln a$ $dy={{a}^{x}}\ln adx$特例: $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}$ $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$(4) $y={{\log }_{a}}x$ ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$特例:$y=\ln x$ $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$(5) $y=\sin x$${y}'=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$(6) $y=\cos x$${y}'=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$(7) $y=\tan x$${y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$ $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$(8) $y=\cot x$ ${y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$ $d(\cot x)=-{{\c…

【机器学习】线性代数相关知识点
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date: 2020-02-20T16:32:00+08:00
description: 部分数学公式在部分手机上竖屏无法显示完全，横屏浏览即可解决。线性代数行列式1.行列式按行（列）展开定理(1) 设$A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}$，则：$a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$或$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$即 $AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,$其中：$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}$$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|$，但$\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$不一定成立。(3) $\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$,$A$为$n$阶方阵。(4) 设$A$为$n$阶方阵，$|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$（若$A$可逆），$|A^{*}| = |A|^{n - 1}$$n \geq 2$(5) $\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$，$A,B$为方阵，但$\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|$ 。(6) 范德蒙行列式$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$设$A$是$n$阶方阵，$\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$是$A$的$n$个特征值，则$|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$矩阵矩阵：$m \times n$个数$a_{{ij}}$排成$m$行$n$列的表格$\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\qua…

【机器学习】概率论和数理统计相关知识点
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date: 2020-02-20T16:31:00+08:00
description: 部分数学公式在部分手机上竖屏无法显示完全，横屏浏览即可解决。概率论和数理统计随机事件和概率1.事件的关系与运算(1) 子事件：$A \subset B$，若$A$发生，则$B$发生。(2) 相等事件：$A = B$，即$A \subset B$，且$B \subset A$ 。(3) 和事件：$A\bigcup B$（或$A + B$），$A$与$B$中至少有一个发生。(4) 差事件：$A - B$，$A$发生但$B$不发生。(5) 积事件：$A\bigcap B$（或${AB}$），$A$与$B$同时发生。(6) 互斥事件（互不相容）：$A\bigcap B$=$\varnothing$。(7) 互逆事件（对立事件）：$A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}$2.运算律(1) 交换律：$A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A$(2) 结合律：$(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$(3) 分配律：$(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)$3.德$\centerdot $摩根律$\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}$ $\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}$4.完全事件组${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$两两互斥，且和事件为必然事件，即${{A}_{i}}\bigcap {{A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega$5.概率的基本公式(1)条件概率:$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$,表示$A$发生的条件下，$B$发生的概率。(2)全概率公式：$P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{{B}_{i}}=\Omega$(3) Bayes 公式：$P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n$注：上述公式中事件${{B}_{i}}$的个数可为可列个。(4)乘法公式：$P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})$$P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})$6.事件的独立性(1)$A$与$B$相互独立$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$(2)$A$，$B$，$C$两两独立$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$;$P(BC)=P(B)P(C)$ ;$P(AC)=P(A)P(C)$;(3)$A$，$B$，$C$相互独立$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$; $P(BC)=P(B)P(C)$ ;$P(AC)=P(A)P(C)$ ; $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$7.独立重复试验将某试验独立重复$n$次，若每次实验中事件 A 发生的概率为$p$，则$n$次试验中$A$发生$k$次的概率为：$P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}$8.重要公式与结论$(1)P(\bar{A})=1-P(A)$$(2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$$(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)$$(4)P(A\bar{B})=P(A)…

数值分析课堂笔记
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date: 2020-02-20T12:41:00+08:00
description: 第1章 数值分析与科学计算1.1数值分析的对象作用与特点一、什么是数值分析数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果数值分析的基本内容1、数值逼近插值法函数逼近与曲线拟和数值积分与数值微分2、数值代数线性代数问题（方程组和特征值）非线性方程（组）数值解法3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法（如神经网络）二、计算数学与科学计算现代科学的三个组成部分：科学理论，科学实验，科学计算科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab，Mathematica，Maple，MathCAD etc.）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。促使一些边缘学科的相继出现：计算数学，计算物理学，计算力学，计算化学，计算生物学，计算地质学，计算经济学，等等.三、数值问题与算法目的：理论可靠、计算复杂性好和能在计算机上实现的求解数学模型方法。理论可靠：稳定性、收敛（快慢）性。计算复杂性好：时间、存储开销。计算机上可实现：有限（可操作）性。计算机软、硬件的发展为数值方法的实现提供环境，也促进它的快速发展.数值分析的特点：1、面向计算机2、可靠的理论分析，保证收敛性、稳定性3、良好的计算复杂性4、数值实验四、如何学好数值分析1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析2、注重实际问题，练习、作业3、积极动手上机实践五、数值分析解决的问题1.2数值计算的误差一、误差来源、分类模型误差：从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素，因此产生的误差称为模型误差.观测误差：一般数学问题包含若干参数，它们是通过观测得到的，受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素的影响，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。截断误差或方法误差:数值方法求出的近似解和精确解之间的误差舍入误差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时所产生的误差二、近似数的误差和有效数字三、数值运算的误差估计随堂练习：1.3误差定性分析、避免误差危害一个算法，如果在执行它的过程中舍入误差在一定条件下可以得到控制（或者说初始误差和舍入误差的增长不影响产生可靠的结果），则称它是数值稳定的，否则称该算法数值不稳定。尝试使用两种算法来解决它：显然，算法A是失败的。分析：避免误差危害的若干原则：除了分清算法是否数值稳定外，还要考虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则.第2章 插值法2.1 引言一、问题背景函数逼近：数学中的基本问题，最活跃的研究领域之一数值计算中函数表示的重要方法本质是讨论如何用简单函数近似代替复杂函数简单函数曲线拟合离散数据的方法、理论及其实现现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可以给出零件外形曲线的某些节点，加工时为了控制每步走刀方向和步数，就需要算出零件外形曲线，才能加工出外形光滑的零件，这其实就是插值函数的问题。二、一般概念三、多项式插值函数的唯一性2.2拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值几何意义：给定两点，确定一条直线因此，二、拉格朗日插值多项式为了简便，三、插值余项与误差估计2.3差商与牛顿插值一、差商及其性质拉格朗日插值优缺点：优点：公式紧凑，插值基函数，性质一目了然，在理论分析中甚为重要缺点：当插值节点增加时，计算需要全部推倒重来，非常麻烦为此，引入牛顿插值多项式：考察：差商：差商的基本性质：性质一：衍生性质：2.4习题课2.4差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分。一、差分及其性质二、等距节点插值公式由于牛顿插值多项式：2.5埃尔米特插值不少插值问题不仅要求在节点上函数值相等，而且要求在某些节点上对应的的导数值甚至高阶导数值相等.这种插值问题称为埃尔米特（Hermite）插值问题证明方法：当n=l时，应用广泛的三次埃尔米特插值多项式：拉格朗日插值多项式及其余项与埃尔米特插值多项式及其余项的比较怎么根据插值条件构造出插值多项式拉格朗日插值多项式如果有n+1个节点：满足：埃尔米特插值多项式怎么分析误差（两种插值多项式的余项）根据插值条件构造出插值多项式并分析出它的插值余项（误差），是本章重要的两个内容。拉格朗日插值多项式埃尔米特插值多项式2.6分段低次插值一、高次插值的病态性质那么，是不是对于插值多项式来说次数越高误差越小呢？龙格现象例子：两等分三节点其中，黑色的曲线表示目标函数，红色的曲线表示抛物插值多项式（二次插值多项式）可以看到，误差较大。尝试增加节点的个数：四等分5节点蓝色的曲线表示四次插值多项式八等分9节点10等分11节点即便用10次，误差依然比较大：原因？当n趋于无穷时，上式的分子和分母都增大。二、分段…

复变函数课堂笔记
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date: 2020-02-19T22:21:00+08:00
description: 1.复数及其运算为什么要研究复变函数？复变：复数（域）作为自变量的取值范围函数：同之前学的函数以通常情况下的实数域为范围，是微积分的研究范围（极限理论、微分理论、积分理论及其他）在Complex Analysis中，若一个函数一阶导-->阶阶导可导函数在一些特定条件下，一些环路积分的积分值为零（柯西定理）建立复数特定的积分理论-->帮助计算实数域上的积分（用普通积分工具无法计算）复数：z=x+yi (x,y属于R)i是虚数单位（本身不存在）规定 ：i^2 = -1复数拓宽了方程解的范围。复数的加减乘除求复数的实部Re()与虚部Im()求某复数的共辄复数复数的辐角（Argz）和辐角主值（argz）在复平面上，复数所对应的向量与x轴正方向的夹角成为复数的辐角，显然一个复数的辐角有无穷多个，但是在区间（-π，π]内的只有一个，这个辐角就是该向量的辐角主值，也称主辐角，记为argz。Argz=argz+2nπ (n为整数)0的辐角是不存在的；辐角通常是不唯一的；辐角主值是唯一的。求模、辐角和辐角主值复数的开方代数式、三角式、指数式转换2.复数形式的方程、映射将由x、y表示的方程化为复数形式将复数形式方程化为由x、y表示的方程/直角坐标方程将x=... y=...形式的参数方程化为复数形式将复数形式的参数方程化为x=... y=...形式/一般形式已知z=*，求其在映射下的象已知arg（z）范围，求其在映射下的象已知由x、y表示的方程，求其在映射下的象小知识点两个复数（不全为实数）不能比较大小3.常见的四种初等函数计算复数的三角函数计算复数的对数函数计算复数的指数函数已知关于e^(?z)的式子，求z计算复数的幂函数