数学建模培训课程1第二章课堂笔记
二、建模课程一成比例及其应用注：两个变量x和y成比例是相互的。成比例的几何意义为过原点的一条直线。变量x和y只是一个符号。例一、测试比例性程序实现修改源程序，引入（0，0）点由上图可知，弹簧的伸长量和悬挂重物的质量成比例。拟合得出斜率k=0.0165，于是建立计算模型为e=0.0165m。例二、开普勒第三定律开普勒第三定律行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。行星在单位时间内扫过的面积不变。行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）。程序实现发现图线下凸，因此考虑优化程序：此时变成了一条上凸的图形，中间肯定有直线的过程酵母培养物增长的模型先画散点图时间和酵母数量显然不成比例，那么时间和酵母增量是否成比例？类似于二次函数的图像模型分析接下来考虑如何才能使得“改变量”与时间成直线关系？引入原点满足成比例的特性可以看出图中散点距离有点大，因此需要学习更好的拟合方法血流中地高辛含量衰血流中地高辛含量衰减的模型首先画出an和detan的散点图引入（0，0）点：得到一个很完美的过原点的散点图求出斜率k：动力系统的解法1.线性动力系统满足的模型。动力系统的解法线性动力系统解的长期趋势动力系统的应用1.地高辛的处方程序实现0.2是一个平衡点，一旦达到了这个值，系统永远停留在0.2处。不管起初始值低于或高于平衡点，最终都会趋向于平衡点。2.投资年金程序实现3.活期储蓄账户程序实现非线性动力系统程序实现改变r值为2.750，那么该非线性动力系统的解是如何形式？再一次改变r值：再一次改变r值：再一次改变r值：再一次改变r值：汽车租赁公司的模型问题引入继续尝试其他组合：对初始条件的敏感性及长期趋势：每一种情形在一周内都和平衡点很接近，暗示平衡点稳定且对初始条件不敏感。基于这些研究，我们倾向于预测该系统趋于平衡点，3/7的车到A市而4/7的车到B市。这些信息对该公司是有帮助的。数学建模的过程原型指人们在现实世界里所关心、研究或从事生产管理的实际对象。模型为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩，加以提炼而构造的原型的替代物。模型不是原型的原封不动的复制，它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。目的不同，建立的模型也不同同一个原型，为了不同的目的，可以有许多不同的模型，每个模型的特征是由构造模型的目的决定的。数学模型用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据、图表等）加以翻译、归纳所形成的公式、图表、计算机语言等。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预报，再经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经过现实的检验，完成实践一理论一实践的循环。数学建模指人们根据客观事物的特征，分析其内部机理，弄清其因果关系，并在适当的简化假设下，利用合理的数学工具得到描述事物特征的建立数学模型的过程。建立数学模型的过程1.识别问题要探究的问题是什么？这一步通常比较困难。因为现实生活中，没有人简单给你一个有待解决的数学问题，通常要从大量数据中识别所研究问题的某些特定的方面。此外，考虑到要把描述问题的口头陈述翻译成数学符号来表示，阐明问题是要足够的精确。2.模型假设首先，要通过减少考虑的因素的数目来进行简化；其次，必须确定余下的变量之间的关系；再次，通过假设相对简单的关系，能够降低问题的复杂性。假设有两个主要方面：变量分类：模型寻求解释的变量是因变量，可能有几个，余下的是自变量。每个变量分为因变量、自变量。另外还有参数。确定选择的变量之间的相互关系：如果问题比较复杂，可以分别研究自变量中的一个或几个，建立子模型，最后把子模型合在一起。3.求解或解释模型如果得到一个不能求解或不会解释的难以处理的模型，应该回到第二步做出另外的简化假设，甚至回到第一步重新定义问题。4.模型验证常识性验证：1、该模型是否回答了第一步识别的问题，是否偏离了构建该模型的关键问题。2、该模型在实用意义下是否有用，即是否能收集必要的数据来运作该模型。3、该模型是否有普遍意义。数据检验：要考虑到第二步中假设的自变量的取值范围问题。5.实施模型6.维修模型（改进模型）模型是从第一步问题识别和第二步所做的假设中推导出来的。原来的问题是否会变化？忽略的因素是否会变得重要？等等。车辆停止距离的模型在国外司机培训班上有下面的规定：正常的驾驶条件对车与车之间的跟随距离的要求是，每10英里的速率可以允许一辆车的长度的跟随距离，但不利的天气和道路的条件下要求更长的跟随距离。一种简便易行的方法是2秒钟法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随距离。看着你前面的汽车刚刚驶过的一个高速公路上的一个固定点，然后默数“一干零一，一干零二”（用英文就是2秒）。如果在默数完这句话之前就到了这个记号处，那么你的车和前面的车就靠的太近了。1.识别问题2.模型假设3.模型建立4.模型检验添加（0，0）点：图像：可知，成比例，求斜率k：构建刹车距离模型：添加（0，0）点：图像：利用成比例的几何意义求出斜率k：借助反应距离模型和刹车距离模型构建总的刹车距离模型：几何相似性及其应用定义：如果两个物体各点之间存在着一个一一对应，使得对应点之间的距离之比都不变，则称这两个物体是几何相似的。几何相似性性质：不动的云层落下雨滴的速度包饺子的数学问题一公斤面能包一公斤馅，若面没有变，馅儿增加了，问饺子应该包的大一点还是小一点？识别问题：饺子面、馅和饺子个数之间的函数关系。模型假设：饺子之间是几何相似的。鱼重量估计的模型出于保护的目的，钓鱼俱乐部想鼓励其会员在钓到鱼后马上将它们放生。该俱乐部还希望根据钓到鱼的重量给予钓鱼者一定的奖励。那么钓鱼者怎么能够简便确定其所钓到的鱼的重量呢？是否可以根据鱼的某个易于测量的量来估计鱼的重量呢？1.识别问题根据某个容易识别的量预测鱼的重量。2.模型假设影响鱼重量的因素很多：种类，性别，季节等。考虑单一的鱼种：如鲈鱼。假设鱼的平均密度不变，忽略性别和季节等因素。如果发现结果不满意，再改进模型。3.模型建立4.验证模型由散点图可知，鱼的长度的立方和鱼的重量成比例，接着借助matlab求解系数k：5.模型应用根据模型，制成卡片长度——重量转换卡6.模型的优缺点优点：简单易行。缺点：模型只考虑了鱼的长度，而忽略了鱼的宽度，因此没有区分肥鱼和瘦鱼。鱼重量估计的改进模型区分胖瘦鱼1.识别问题2.验证模型求出k：所得模型可以很好的刻画刚才得到的数据。3.模型应用4.模型的优点模拟拟合引言（1）分析数据的目的在建模过程中，需要根据不同的目的分析数据。例如，分析汽车刹车后的停止距离时，引入了子模型：有时会遇到不同的假定导出不同的子模型的情况。此时分析数据的目的：从一些不同的拟合模型中选取出最合适的模型。（2）数据的采集模型一般包含一个或多个参数，必须采集足够的数据来确定参数。下面讨论数据采集问题。应该采集多少个数据点呢？采集数据点的个数要在观测费用和模型要求的精确度之间权衡；采集数据点的个数至少要与模型曲线中的参数个数一样多；要找到最佳的拟合曲线，需要更多的数据点来确定参数。如何确定采集数据点的间隔呢？可以采用不等间隔进行数据采集；在模型预期使用较多的地方，希望拟合出的曲线尽可能接近实际情况，就需要采集更多的数据点，此时应减小采集间隔；在变量发生剧烈变化的地方，也需要减小数据采集间隔以抓住这些变化。（3）拟合与插值的关系问题：给定一组数据点，需确定满足特定要求的曲线。解决方案：函数插值或曲线拟合。函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。1.函数插值但是函数插值有其局限性，例如：观测数据不可避免地带有测量误差，如果要求近似曲线通过所有数据点，就会使曲线保留着测量误差，特别是当个别数据的误差较大时，插值效果就很不理想。另外观测数据个数往往很多，这时一般不要求近似曲线通过所有数据点，只要求曲线能反映数据的基本趋势，这就要用到曲线拟合。2.曲线拟合模型拟合的准则绝对偏差（1）切比雪夫近似准则切比雪夫准则对有大偏差的单个数据点赋以更大的权重，当极小化最大绝对偏差很重要时可以采用这一准则。（2）极小化绝对偏差之和极小化绝对偏差之和这一准则，看起来简单，实际上不易求解。由于和式中出现了绝对值，导致其微分不连续，无法通过解析方法求出最优解。实际应用中，常用数值解法求出近似解。（3）最小二乘准则与前两个准则相比，最小二乘准则产生的优化问题易于解析求解。由于偏差平方和是一个连续函数，可对待定参数求偏导得到正规方程，通过正规方程来确定最优参数，进而确定出所给函数类型中的最佳函数。最小二乘准则的应用（1）拟合直线推广：多项式拟合（2）幂曲线拟合在理论上最小二乘准则很易应用，但有时在求解上可能会出现困难。（3）可化为线性拟合的非线性拟合近似的最小二乘拟合：模型拟合实例例：车辆停止距离为了保证行车安全，合适的跟车距离非常重要。从司机发现紧急情况需要停车到车辆完全停下来，如果不撞上前车，就是安全的跟车距离。那么，安全的跟车距离与什么因素有关？该如何确定安全的跟车距离？问题分析：总停止距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车的时刻到真正刹车的时刻车辆所走过的距离。刹车距离：从刹车后到车辆完全停下来所走过的距离。模型一考虑到刹车距离只能高估，不能低估，因此从安全的角度来看，该模型中速度在70以下是可取的。模型二：模型二整体上拟合得比模型一好，但是当车速低于30时，模型二低估了总停止距离。总的来说，模型一物理意义明确，模型二拟合得更好，各有优缺点，我们可根据实际情况选用合适的模型。高阶多项式模型我们知道，对任意多项式，如果确定了多项式系数，多项式将被随即确定，我们将这n+1个二元点代入到多项式，这样的话我们得到了一个线性方程组。该线性方程组有n+1个未知量，n+1个方程，而这n+1个未知量这就是我们要待定的多项式系数，由于这n+1个点不重复，因此该线性方程组有唯一解，将这一组解代入多项式，从而该多项式唯一确定。对于多项式我们知道它有许多优点，如多项式形式简单；具有任意阶导数；可方便求其积分等。利用多项式建立数学模型，也具有形式简单易理解，方便操作等的优点。如何利用多项式建立数学模型通过高斯消去-回代法容易求得该方程组唯一的一组解：即：程序实现：题外话：高阶多项式优缺点高阶多项式优点高阶多项式缺点高阶多项式的缺点主要有两个：一是在定义区间的端点处有严重的震荡现象，即龙格现象发生；二是系数对数据的微小变化很敏感。一般的，把插值多项式不收敛的现象称作龙格现象，它说明：并非插值多项式的次数越高，其精度就越高。三阶样条模型三阶样条简单概率模型1.传送系统的效率问题分析进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。模型假设模型建立模型解释2.报童的诀窍问题分析准备建模求解结果解释数学规划概论生活中的优化问题，一般都是求使问题的某一项指标“最优”的方案，这类问题统称为“最优化问题"。1.什么是数学规划？数学规划是运筹学的一个分支。数学规划是对现有资源进行统一分配、合理安排、合理调度和最优设计以取得最大经济效果的方法。2.数学规划的一般形式3.数学规划的分类（1）线性规划目标函数与约束条件都是线性的。线性规划（LP）最简单，应用最广泛。1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题；1947年美国数学家G.B.丹齐格提出求解线性规划的单纯形法，为这门学科奠定了基础。（2）非线性规划目标函数与约束条件至少有一个是非线性的。非线性规划（NP）背景更具有普遍性。1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。【注】选定决策变量的初始值之后通过一定的搜索方法寻找最优的决策变量。（3）整数规划决策变量是整数。整数规划（IP）求解较复杂。1958年戈莫里提出割平面法，使整数规划成为了一门独立的分支。目前解决整数规划的主要方法是分支界定法和割平面法。（4）无约束优化问题线性规划线性规划模型的一般形式：用MATLAB优化工具箱解线性规划非线性规划二次规划的定义二次规划：目标函数是决策变量的二次函数；约束条件是线性函数。二次规划标准模型一般非线性规划的求解1.标准形式：整数规划整数规划的定义变量（全部或部分）限制为整数的规划称为整数规划（IP）。整数规划标准模型调用格式混合整数规划求解无约束优化问题一、一元函数用MATLAB解无约束优化问题二、一元函数用MATLAB解无约束优化问题
数学建模培训课程1第一章课堂笔记
一、Matlab语言基础Matlab概述1.MATLAB的发展2.MATLAB的优点3.MATLAB的工作环境4.帮助系统MATLAB变量1.MATLAB的特殊常量2.变量的命名规则3.变量的定义与赋值4.变量的显示5.变量的存取6.变量的清除7.变量的检查一维数组的创建与元素提取1.一维数组（向量）的创建2.一维数组中元素的提取二维数组的创建与元素提取1.二维数组（矩阵）的创建2.二维数组中元素的提取字符数组和空数组1.字符数组2.空数组矩阵的算术运算1.矩阵的基本算术运算2.矩阵的点（元素群）运算矩阵的关系运算和逻辑运算1.矩阵的关系运算2.矩阵的逻辑运算矩阵元素的处理1.矩阵元素的取整2.矩阵元素的取模和取余矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析1.矩阵的行列式2.矩阵的秩与迹矩阵的逆与线性方程组求解1.矩阵的逆2.线性方程组求解矩阵的分解与变换1.矩阵的分解2.矩阵的变换基本二维曲线绘制1.plot(y)对于矩阵，是按列连线：2.plot(x,y)绘图辅助操作1.颜色、标记和线型2.坐标轴标注和范围设置3.标题和图例标注（注释的位置）双纵坐标、多子图绘制1.双纵坐标绘图2.多子图绘制3.多图绘制三维数据可视化1.三维曲线绘制2.三维曲面绘制做动图不做要求：M文件1.M文件的创建、保存、打开和运行2.主程序文件和函数文件条件控制结构1.if条件控制结构思考：为什么不键入任何数直接回车程序会判断为odd？2.switch-case条件控制结构clear all ：清除一下之前用过的变量。循环控制结构1.for循环结构上程序与以下程序等价：2.while循环结构其他常用语句1.pause实现暂停功能2.input是一种人机交互命令M文件的注释和程序调试1.M文件的注释2.程序的调试数据分析函数库1.基本的数据分析2.用于随机数据分析的函数3.用于相关分析的函数多项式函数库1.多项式的四则运算2.多项式求导、求根和求值3.多项式拟合非线性函数分析及函数的数值积分1.非线性函数分析2.函数的数值积分线性微分方程的解线性微分方程的解——拉普拉斯变换法
一、简介数学建模的核心基本概念什么是数学模型数学结构数学模型数学建模的基本特征方法步骤数学建模的基本方法数学建模的步骤模型系统性的作用 假设的合理性合理假设应省遵循的原则现实问题与数学表达式数学建模的步骤竞赛写作国内外有哪些重要数学建模莞赛？数学建模赛题形式数学建模亮赛赛要求数学建模评阅标准论文写作结构论文写作的注意事项还有参考文献科研素养二、蛛网模型问题提出与蛛网模型市场经济中的蛛网模型的引入：决策者往往希望数量和价格在一定范围内波动的良性循环。为什么需要数量价格在一定范围内波动的良性循环额？市场经济中的蜡网模型目标：保持数量与价格之间的良性循环从单调性的角度考虑：p1背离p0的情况：上述两种情况（直观上的稳定与不稳定）在实际中都可能出现。数学建模中，需要对该理论进行分析。方程模型干预手段与模型推广经济不稳定时决策者的干预办法模型的推广三、微分方程模型引言微分方程建模方法人口模型方程（2）是一个差分方程，可处理离散时间（如几年内）的人口数量情况。指数增长模型预报未来若千年的人口数指数增长模型（Malthus模型）模型求解模型检验马尔萨斯模型与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合，可用于短期人口增长预测，不符合19世纪后多数地区人口增长规律。阻滞增长模型在马尔萨斯模型的基础上，考虑这个模型中度量人口增长率的比例因子k。由此建立的模型叫做阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长膜型（Logistic模型）总结：logistic模型不仅适用于物种数量的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用。年龄结构模型指数增长模型和Logistic模型都不涉及年龄结构，接下来讨论年龄结构模型。考虑年龄结构和生育模式的人口模型人口发展方程模型建立人口控制模型评价模型应用本节：只考虑自然的出生、死亡，不计迁移等社会因素的影响，建立了考虑年龄结构和生育模式的人口模型，最后讨论了模型的应用。四、排队模型实例与问题在日常生活中，因为人数众多等原因，排队的现象很常见如何缩短和优化排队等候的时间？排队实例与问题概念与原理什么是排队系统？排队模型的几个步骤游乐场排队建模案倒分析--游乐园排队：快速通过系统（FP）模型的假设第一个假设：fp系统统计之后，计算出顾客返回的时间间隔或时间点或时间窗。第二个假设：第三个假设：第四个假设：泊松过程（Poisson Process）问题分析模型1的建立-目标函数模型2-边山车排队模型求解与改进模型2的求解-边山车模型过山车模型的仿真模型的改进五、线性规划模型问题提出与线性规划模型规划模型的一般形式厂长最关心的问题：技术问题？规模问题？人工问题？生产计划中的线性规划模型实际问题生产计划问题的表格形式家具生产的例子规划模型是在一组限制条件下求函数的最大/小值问题。线性规划模型特点及标准形式问题线性规划模型的一般式模型规范与图解法线性规划模型的标准型（standard model）非规范性模型转换为规范型模型步骤把线性规划模型化为标准型于是，原规划问题转换成为如下标准型线性规划求解--图解法单纯形法求解线性线性规划求解--单纯形法（Dantzing，1947）用MATLAB优化工具箱解线性规划一个例子：六、动态规划模型动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法，该方法将一系列较难的多阶段决策问题化为一系列简单的单阶段决策问题。其中，多阶段决策问题概念如下：用动态规划模型可以解决的问题：基本概念一、阶段把所要处理的问题合理地划分成若干个相互联系的阶段，通常用K表示阶段变量。二、状态和状态变量三、决策和决策变量四、策略和子策略五、状态转移方程六、指标函数和最优指标函数动态规划的原理最优性原理动态规划的数学模型投资分配问题案例一同理可求出：背包问题旅行者携带物品问题：问：此人应如何选择携带物品的件数，使其作用最大？工厂里的下料问题，运擒中的货物装载问题，人造卫星内的物品装载问题等同样属于背包问题！求背包问题的最优解仿照背包问题求解练习题动态规划算法与贪心算法的区别贪心算法：1.贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。2.由（1）中的介绍，可以知道贪心法正确的条件是：每一步的最优解一定包含上一步的最优解。动态规划算法：1.全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解2.动态规划的关键是状态转移方程，即如何由以求出的局部最优解来推导全局最优解3.边界条件：即最简单的，可以直接得出的局部最优解贪心法的基本思路：从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。该算法存在问题：1. 不能保证求得的最后解是最佳的；2. 不能用来求最大或最小解问题；3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。实现该算法的过程：从问题的某一初始解出发；while 能朝给定总目标前进一步 do求出可行解的一个解元素；由所有解元素组合成问题的一个可行解贪心算法最经典的例子，给钱问题。比如中国的货币，只看元，有1元2元5元10元20、50、100如果我要16元，可以拿16个1元，8个2元，但是怎么最少呢？如果用贪心算，就是我每一次拿那张可能拿的最大的。比如16，我第一次拿20拿不起，拿10元，OK，剩下6元，再拿个5元，剩下1元也就是3张 10、5、1。每次拿能拿的最大的，就是贪心。但是一定注意，贪心得到的并不是最优解，也就是说用贪心不一定是拿的最少的张数贪心只能得到一个比较好的解，而且贪心算法很好想得到。再注意，为什么我们的钱可以用贪心呢？因为我们国家的钱的大小设计，正好可以使得贪心算法算出来的是最优解（一般是个国家的钱币都应该这么设计）。如果设计成别的样子情况就不同了比如某国的钱币分为 1元3元4元如果要拿6元钱 怎么拿？贪心的话 先拿4 再拿两个1 一共3张钱实际最优呢？ 两张3元就够了求最优解的问题，从根本上说是一种对解空间的遍历。最直接的暴力分析容易得到，最优解的解空间通常都是以指数阶增长，因此暴力穷举都是不可行的。最优解问题大部分都可以拆分成一个个的子问题，把解空间的遍历视作对子问题树的遍历，则以某种形式对树整个的遍历一遍就可以求出最优解，如上面的分析，这是不可行的。贪心和动态规划本质上是对子问题树的一种修剪。两种算法要求问题都具有的一个性质就是“子问题最优性”。即，组成最优解的每一个子问题的解，对于这个子问题本身肯定也是最优的。如果以自顶向下的方向看问题树（原问题作根），则，我们每次只需要向下遍历代表最优解的子树就可以保证会得到整体的最优解。形象一点说，可以简单的用一个值（最优值）代表整个子树，而不用去求出这个子树所可能代表的所有值。动态规划方法代表了这一类问题的一般解法。我们自底向上（从叶子向根）构造子问题的解，对每一个子树的根，求出下面每一个叶子的值，并且以其中的最优值作为自身的值，其它的值舍弃。动态规划的代价就取决于可选择的数目（树的叉数）和子问题的的数目（树的节点数，或者是树的高度？）。贪心算法是动态规划方法的一个特例。贪心特在，可以证明，每一个子树的根的值不取决于下面叶子的值，而只取决于当前问题的状况。换句话说，不需要知道一个节点所有子树的情况，就可以求出这个节点的值。通常这个值都是对于当前的问题情况下，显而易见的“最优”情况。因此用“贪心”来描述这个算法的本质。由于贪心算法的这个特性，它对解空间树的遍历不需要自底向上，而只需要自根开始，选择最优的路，一直走到底就可以了。这样，与动态规划相比，它的代价只取决于子问题的数目，而选择数目总为1。来源：https://blog.csdn.net/HerosOfEarth/article/details/52374337七、图论模型图论基本概念生活中有很多图论的应用问题，如：路径导航/最短路径问题。图论的基本概念距离矩阵例如：矩阵A就是左图的距离矩阵。指定两点最短路算法Dijkstra算法算法步骤案例MATLAB程序任意两点最短路算法Floyd-Warshal算法算法原理算法描述多阶段决策的图论模型例子企业设备损耗，选择维修还是重新购置？有向图
老师授课视频：点击观看概率论部分第一章：概率论的基本概念点击查看笔记第二章：一维随机变量及其分布点击查看笔记1-2章单元测试：点击查看题目/答案第三章：多维随机变量及其分布点击查看笔记第四章：随机变量的数字特征点击查看笔记3-4章单元测试：点击查看题目/答案第五章：大数定律与中心极限定理点击查看笔记数理统计部分第六章：抽样与抽样分布点击查看笔记第6章单元测试：点击查看题目/答案第七章：参数估计点击查看笔记第7章单元测试：点击查看题目/答案第八章：假设检验点击查看笔记第8章单元测试：点击查看题目/答案第九章：方差分析点击查看笔记
部分数学公式在部分手机上竖屏无法显示完全，横屏浏览即可解决。线性代数行列式1.行列式按行（列）展开定理(1) 设$A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}$，则：$a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$或$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$即 $AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,$其中：$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}$$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|$，但$\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$不一定成立。(3) $\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$,$A$为$n$阶方阵。(4) 设$A$为$n$阶方阵，$|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$（若$A$可逆），$|A^{*}| = |A|^{n - 1}$$n \geq 2$(5) $\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$，$A,B$为方阵，但$\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|$ 。(6) 范德蒙行列式$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$设$A$是$n$阶方阵，$\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$是$A$的$n$个特征值，则$|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$矩阵矩阵：$m \times n$个数$a_{{ij}}$排成$m$行$n$列的表格$\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}$ 称为矩阵，简记为$A$，或者$\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}$ 。若$m = n$，则称$A$是$n$阶矩阵或$n$阶方阵。矩阵的线性运算1.矩阵的加法设$A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})$是两个$m \times n$矩阵，则$m \times n$ 矩阵$C = c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}$称为矩阵$A$与$B$的和，记为$A + B = C$ 。2.矩阵的数乘设$A = (a_{{ij}})$是$m \times n$矩阵，$k$是一个常数，则$m \times n$矩阵$(ka_{{ij}})$称为数$k$与矩阵$A$的数乘，记为${kA}$。3.矩阵的乘法设$A = (a_{{ij}})$是$m \times n$矩阵，$B = (b_{{ij}})$是$n \times s$矩阵，那么$m \times s$矩阵$C = (c_{{ij}})$，其中$c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}$称为${AB}$的乘积，记为$C = AB$ 。4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$、$\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}$、$\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$三者之间的关系(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$但 ${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$不一定成立。(3) $\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$，$\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},$ $\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$但$\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}$不一定成立。(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}$5.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$的结论(1) $AA^{*} = A^{*}A = |A|E$(2) $|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)$(3) 若$A$可逆，则$A^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A$(4) 若$A$为$n$阶方阵，则：$r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$6.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$的结论$A$可逆$\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$$\Leftrightarrow A$可以表示为初等矩阵的乘积；$\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$。7.有关矩阵秩的结论(1) 秩$r(A)$=行秩=列秩；(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$；(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$(5) 初等变换不改变矩阵的秩(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$特别若$AB = O$则：$r(A) + r(B) \leq n$(7) 若$A^{- 1}$存在$\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$B^{- 1}$存在$\Rightarrow r(AB) = r(A);$若$r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)$。(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$只有零解8.分块求逆公式$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$；$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}$这里$A$，$B$均为可逆方阵。向量1.有关向量组的线性表示(1)$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。(2)$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow \beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示$\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。2.有关向量组的线性相关性(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.(2) ① $n$个$n$维向量$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性无关$\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$， $n$个$n$维向量$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性相关$\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$。② $n + 1$个$n$维向量线性相关。③ 若$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}$线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。3.有关向量组的线性表示(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow\beta$ 可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示$\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系设$r(A_{m \times n}) =r$，则$A$的秩$r(A)$与$A$的行列向量组的线性相关性关系为：(1) 若$r(A_{m \times n}) = r = m$，则$A$的行向量组线性无关。(2) 若$r(A_{m \times n}) = r < m$，则$A$的行向量组线性相关。(3) 若$r(A_{m \times n}) = r = n$，则$A$的列向量组线性无关。(4) 若$r(A_{m \times n}) = r < n$，则$A$的列向量组线性相关。5.$\mathbf{n}$维向量空间的基变换公式及过渡矩阵若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$是向量空间$V$的两组基，则基变换公式为：$(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C$其中$C$是可逆矩阵，称为由基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。6.坐标变换公式若向量$\gamma$在基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的坐标分别是$X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}$，$Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$，则向量坐标变换公式为$X = CY$ 或$Y = C^{- 1}X$，其中$C$是从基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。7.向量的内积$(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$8.Schmidt 正交化若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，则可构造$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$使其两两正交，且$\beta_{i}$仅是$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$的线性组合$(i= 1,2,\cdots,n)$，再把$\beta_{i}$单位化，记$\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}$，则$\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$是规范正交向量组。其中$\beta_{1} = \alpha_{1}$， $\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ ， $\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，............$\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$9.正交基及规范正交基向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。线性方程组1．克莱姆法则线性方程组$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}$，如果系数行列式$D = \left| A \right| \neq 0$，则方程组有唯一解，$x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}$，其中$D_{j}$是把$D$中第$j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。2. $n$阶矩阵$A$可逆$\Leftrightarrow Ax = 0$只有零解。$\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$总有唯一解，一般地，$r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$只有零解。3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构(1) 设$A$为$m \times n$矩阵，若$r(A_{m \times n}) = m$，则对$Ax =b$而言必有$r(A) = r(A \vdots b) = m$，从而$Ax = b$有解。(2) 设$x_{1},x_{2},\cdots x_{s}$为$Ax = b$的解，则$k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}$当$k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$时仍为$Ax =b$的解；但当$k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$时，则为$Ax =0$的解。特别$\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$为$Ax = b$的解；$2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$为$Ax = 0$的解。(3) 非齐次线性方程组${Ax} = b$无解$\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$不能由$A$的列向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$线性表示。4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解(1) 齐次方程组${Ax} = 0$恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此${Ax}= 0$的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是$n - r(A)$，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。(2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的基础解系，即：$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的解；$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性无关；${Ax} = 0$的任一解都可以由$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性表出. $k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$是${Ax} = 0$的通解，其中$k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$是任意常数。矩阵的特征值和特征向量1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质(1) 设$\lambda$是$A$的一个特征值，则 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$有一个特征值分别为${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$且对应特征向量相同（$A^{T}$ 例外）。(2)若$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$为$A$的$n$个特征值，则$\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|$ ,从而$|A| \neq 0 \Leftrightarrow A$没有特征值。(3)设$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$为$A$的$s$个特征值，对应特征向量为$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，若: $\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,则: $A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。2.相似变换、相似矩阵的概念及性质(1) 若$A \sim B$，则$A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}$$|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)$$|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$，对$\forall\lambda$成立3.矩阵可相似对角化的充分必要条件(1)设$A$为$n$阶方阵，则$A$可对角化$\Leftrightarrow$对每个$k_{i}$重根特征值$\lambda_{i}$，有$n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$(2) 设$A$可对角化，则由$P^{- 1}{AP} = \Lambda,$有$A = {PΛ}P^{-1}$，从而$A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$(3) 重要结论若$A \sim B,C \sim D$，则$\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}$.若$A \sim B$，则$f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|$，其中$f(A)$为关于$n$阶方阵$A$的多项式。若$A$为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩($A$)4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵(1)相似矩阵：设$A,B$为两个$n$阶方阵，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$B =P^{- 1}{AP}$成立，则称矩阵$A$与$B$相似，记为$A \sim B$。(2)相似矩阵的性质：如果$A \sim B$则有：$A^{T} \sim B^{T}$$A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若$A$，$B$均可逆）$A^{k} \sim B^{k}$ （$k$为正整数）$\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$，从而$A,B$ 有相同的特征值$\left| A \right| = \left| B \right|$，从而$A,B$同时可逆或者不可逆秩$\left( A \right) =$秩$\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|$，$A,B$不一定相似二次型1.$\mathbf{n}$个变量$\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$的二次齐次函数$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}$，其中$a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$，称为$n$元二次型，简称二次型. 若令$x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}$,这二次型$f$可改写成矩阵向量形式$f =x^{T}{Ax}$。其中$A$称为二次型矩阵，因为$a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵$A$的秩称为二次型的秩。2.惯性定理，二次型的标准形和规范形(1) 惯性定理对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。(2) 标准形二次型$f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}$经过合同变换$x = {Cy}$化为$f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}$$y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$称为 $f(r \leq n)$的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由$r(A)$唯一确定。(3) 规范形任一实二次型$f$都可经过合同变换化为规范形$f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}$，其中$r$为$A$的秩，$p$为正惯性指数，$r -p$为负惯性指数，且规范型唯一。3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性设$A$正定$\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定；$|A| >0$,$A$可逆；$a_{{ii}} > 0$，且$|A_{{ii}}| > 0$$A$，$B$正定$\Rightarrow A +B$正定，但${AB}$，${BA}$不一定正定$A$正定$\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$$\Leftrightarrow A$的各阶顺序主子式全大于零$\Leftrightarrow A$的所有特征值大于零$\Leftrightarrow A$的正惯性指数为$n$$\Leftrightarrow$存在可逆阵$P$使$A = P^{T}P$$\Leftrightarrow$存在正交矩阵$Q$，使$Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},$其中$\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.$正定$\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定； $|A| > 0,A$可逆；$a_{{ii}} >0$，且$|A_{{ii}}| > 0$ 。
【机器学习】概率论和数理统计相关知识点
部分数学公式在部分手机上竖屏无法显示完全，横屏浏览即可解决。概率论和数理统计随机事件和概率1.事件的关系与运算(1) 子事件：$A \subset B$，若$A$发生，则$B$发生。(2) 相等事件：$A = B$，即$A \subset B$，且$B \subset A$ 。(3) 和事件：$A\bigcup B$（或$A + B$），$A$与$B$中至少有一个发生。(4) 差事件：$A - B$，$A$发生但$B$不发生。(5) 积事件：$A\bigcap B$（或${AB}$），$A$与$B$同时发生。(6) 互斥事件（互不相容）：$A\bigcap B$=$\varnothing$。(7) 互逆事件（对立事件）：$A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}$2.运算律(1) 交换律：$A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A$(2) 结合律：$(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$(3) 分配律：$(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)$3.德$\centerdot $摩根律$\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}$ $\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}$4.完全事件组${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$两两互斥，且和事件为必然事件，即${{A}_{i}}\bigcap {{A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega$5.概率的基本公式(1)条件概率:$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$,表示$A$发生的条件下，$B$发生的概率。(2)全概率公式：$P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{{B}_{i}}=\Omega$(3) Bayes 公式：$P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n$注：上述公式中事件${{B}_{i}}$的个数可为可列个。(4)乘法公式：$P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})$$P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})$6.事件的独立性(1)$A$与$B$相互独立$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$(2)$A$，$B$，$C$两两独立$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$;$P(BC)=P(B)P(C)$ ;$P(AC)=P(A)P(C)$;(3)$A$，$B$，$C$相互独立$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$; $P(BC)=P(B)P(C)$ ;$P(AC)=P(A)P(C)$ ; $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$7.独立重复试验将某试验独立重复$n$次，若每次实验中事件 A 发生的概率为$p$，则$n$次试验中$A$发生$k$次的概率为：$P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}$8.重要公式与结论$(1)P(\bar{A})=1-P(A)$$(2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$$(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)$$(4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),$$P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)$(5)条件概率$P(\centerdot |B)$满足概率的所有性质，例如：. $P({{\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)$$P({{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)$$P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)$(6)若${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{n}}$相互独立，则$P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})},$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}$(7)互斥、互逆与独立性之间的关系：$A$与$B$互逆$\Rightarrow$ $A$与$B$互斥，但反之不成立，$A$与$B$互斥（或互逆）且均非零概率事件$\Rightarrow $$A$与$B$不独立.(8)若${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}$相互独立，则$f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}})$与$g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})$也相互独立，其中$f(\centerdot ),g(\centerdot )$分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立.随机变量及其概率分布1.随机变量及概率分布取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律2.分布函数的概念与性质定义： $F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty$性质：(1)$0 \leq F(x) \leq 1$(2) $F(x)$单调不减(3) 右连续$F(x + 0) = F(x)$(4) $F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1$3.离散型随机变量的概率分布$P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1$4.连续型随机变量的概率密度概率密度$f(x)$;非负可积，且:(1)$f(x) \geq 0,$(2)$\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}$(3)$x$为$f(x)$的连续点，则:$f(x) = F'(x)$分布函数$F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}$5.常见分布(1) 0-1 分布:$P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1$(2) 二项分布:$B(n,p)$： $P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n$(3) Poisson分布:$p(\lambda)$： $P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots$(4) 均匀分布$U(a,b)$：$f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}$(5) 正态分布:$N(\mu,\sigma^{2}):$ $\varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty$(6)指数分布:$E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}$(7)几何分布:$G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.$(8)超几何分布: $H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)$6.随机变量函数的概率分布(1)离散型：$P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)$则: $P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}$(2)连续型：$X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)$则:$F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}$， $f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)$7.重要公式与结论(1) $X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2},$ $\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)$(2) $X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})$(3) $X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)$(4) $X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)$(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。多维随机变量及其分布1.二维随机变量及其联合分布由两个随机变量构成的随机向量$(X,Y)$， 联合分布为$F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)$2.二维离散型随机变量的分布(1) 联合概率分布律 $P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots$(2) 边缘分布律 $p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots$ $p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots$(3) 条件分布律 $P\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}}$$P\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}$3. 二维连续性随机变量的密度(1) 联合概率密度$f(x,y):$$f(x,y) \geq 0$$\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1$(2) 分布函数：$F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}$(3) 边缘概率密度： $f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$(4) 条件概率密度：$f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}$ $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}$4.常见二维随机变量的联合分布(1) 二维均匀分布：$(x,y) \sim U(D)$ ,$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他 \end{cases}$(2) 二维正态分布：$(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$,$(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}$5.随机变量的独立性和相关性$X$和$Y$的相互独立:$\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)$:$\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$（离散型）$\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)$（连续型）$X$和$Y$的相关性：相关系数$\rho_{{XY}} = 0$时，称$X$和$Y$不相关，否则称$X$和$Y$相关6.两个随机变量简单函数的概率分布离散型： $P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right)$ 则：$P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}$连续型： $\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)$则：$F_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}$，$f_{z}(z) = F'_{z}(z)$7.重要公式与结论(1) 边缘密度公式： $f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}$$f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$(2) $P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}$(3) 若$(X,Y)$服从二维正态分布$N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$则有：$X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).$$X$与$Y$相互独立$\Leftrightarrow \rho = 0$，即$X$与$Y$不相关。$C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)$${\ X}$关于$Y=y$的条件分布为： $N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))$$Y$关于$X = x$的条件分布为： $N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))$(4) 若$X$与$Y$独立，且分别服从$N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),$则：$\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),$$C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).$(5) 若$X$与$Y$相互独立，$f\left( x \right)$和$g\left( x \right)$为连续函数， 则$f\left( X \right)$和$g(Y)$也相互独立。随机变量的数字特征1.数学期望离散型：$P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}$；连续型： $X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}$性质：(1) $E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)$(2) $E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)$(3) 若$X$和$Y$独立，则$E(XY) = E(X)E(Y)$(4)$\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})$2.方差：$D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}$3.标准差：$\sqrt{D(X)}$，4.离散型：$D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}$5.连续型：$D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx$性质：(1)$\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0$(2) $X$与$Y$相互独立，则$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$(3)$\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)$(4) 一般有 $D(X pm Y) = D(X) + D(Y) pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) pm 2rhosqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}$(5)$\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)$(6)$\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1$6.随机变量函数的数学期望(1) 对于函数$Y = g(x)$$X$为离散型：$P\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}$；$X$为连续型：$X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}$(2) $Z = g(X,Y)$;$\left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}}$; $E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}}$ $\left( X,Y \right)\sim f(x,y)$;$E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}$7.协方差$Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack$8.相关系数$\rho_{{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$,$k$阶原点矩 $E(X^{k})$;$k$阶中心矩 $E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}$性质：(1)$\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$(2)$\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)$(3)$\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)$(4)$\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1$(5) $\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中$a > 0$$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$，其中$a < 0$9.重要公式与结论(1)$\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)$(2)$\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$(3) $\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,$且 $\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$，其中$a > 0$$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$，其中$a < 0$(4) 下面 5 个条件互为充要条件：$\rho(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)$ $\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ $\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)$注：$X$与$Y$独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。数理统计的基本概念1.基本概念总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用$X$表示。个体：组成总体的每个基本元素。简单随机样本：来自总体$X$的$n$个相互独立且与总体同分布的随机变量$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$，称为容量为$n$的简单随机样本，简称样本。统计量：设$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$是来自总体$X$的一个样本，$g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$）是样本的连续函数，且$g()$中不含任何未知参数，则称$g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$为统计量。样本均值：$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$样本方差：$S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}$样本矩：样本$k$阶原点矩：$A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots$样本$k$阶中心矩：$B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots$2.分布$\chi^{2}$分布：$\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)$，其中$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$相互独立，且同服从$N(0,1)$$t$分布：$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$ ，其中$X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),$且$X$，$Y$ 相互独立。$F$分布：$F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$，其中$X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),$且$X$，$Y$相互独立。分位数：若$P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,$则称$x_{\alpha}$为$X$的$\alpha$分位数3.正态总体的常用样本分布(1) 设$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$为来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}$则：$\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }$或者$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}$$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}$4)${\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$4.重要公式与结论(1) 对于$\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)$，有$E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;$(2) 对于$T\sim t(n)$，有$E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)$；(3) 对于$F\tilde{\ }F(m,n)$，有 $\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};$(4) 对于任意总体$X$，有 $E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$
第1章 数值分析与科学计算1.1数值分析的对象作用与特点一、什么是数值分析数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果数值分析的基本内容1、数值逼近插值法函数逼近与曲线拟和数值积分与数值微分2、数值代数线性代数问题（方程组和特征值）非线性方程（组）数值解法3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法（如神经网络）二、计算数学与科学计算现代科学的三个组成部分：科学理论，科学实验，科学计算科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab，Mathematica，Maple，MathCAD etc.）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。促使一些边缘学科的相继出现：计算数学，计算物理学，计算力学，计算化学，计算生物学，计算地质学，计算经济学，等等.三、数值问题与算法目的：理论可靠、计算复杂性好和能在计算机上实现的求解数学模型方法。理论可靠：稳定性、收敛（快慢）性。计算复杂性好：时间、存储开销。计算机上可实现：有限（可操作）性。计算机软、硬件的发展为数值方法的实现提供环境，也促进它的快速发展.数值分析的特点：1、面向计算机2、可靠的理论分析，保证收敛性、稳定性3、良好的计算复杂性4、数值实验四、如何学好数值分析1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析2、注重实际问题，练习、作业3、积极动手上机实践五、数值分析解决的问题1.2数值计算的误差一、误差来源、分类模型误差：从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素，因此产生的误差称为模型误差.观测误差：一般数学问题包含若干参数，它们是通过观测得到的，受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素的影响，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。截断误差或方法误差:数值方法求出的近似解和精确解之间的误差舍入误差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时所产生的误差二、近似数的误差和有效数字三、数值运算的误差估计随堂练习：1.3误差定性分析、避免误差危害一个算法，如果在执行它的过程中舍入误差在一定条件下可以得到控制（或者说初始误差和舍入误差的增长不影响产生可靠的结果），则称它是数值稳定的，否则称该算法数值不稳定。尝试使用两种算法来解决它：显然，算法A是失败的。分析：避免误差危害的若干原则：除了分清算法是否数值稳定外，还要考虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则.第2章 插值法2.1 引言一、问题背景函数逼近：数学中的基本问题，最活跃的研究领域之一数值计算中函数表示的重要方法本质是讨论如何用简单函数近似代替复杂函数简单函数曲线拟合离散数据的方法、理论及其实现现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可以给出零件外形曲线的某些节点，加工时为了控制每步走刀方向和步数，就需要算出零件外形曲线，才能加工出外形光滑的零件，这其实就是插值函数的问题。二、一般概念三、多项式插值函数的唯一性2.2拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值几何意义：给定两点，确定一条直线因此，二、拉格朗日插值多项式为了简便，三、插值余项与误差估计2.3差商与牛顿插值一、差商及其性质拉格朗日插值优缺点：优点：公式紧凑，插值基函数，性质一目了然，在理论分析中甚为重要缺点：当插值节点增加时，计算需要全部推倒重来，非常麻烦为此，引入牛顿插值多项式：考察：差商：差商的基本性质：性质一：衍生性质：2.4习题课2.4差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分。一、差分及其性质二、等距节点插值公式由于牛顿插值多项式：2.5埃尔米特插值不少插值问题不仅要求在节点上函数值相等，而且要求在某些节点上对应的的导数值甚至高阶导数值相等.这种插值问题称为埃尔米特（Hermite）插值问题证明方法：当n=l时，应用广泛的三次埃尔米特插值多项式：拉格朗日插值多项式及其余项与埃尔米特插值多项式及其余项的比较怎么根据插值条件构造出插值多项式拉格朗日插值多项式如果有n+1个节点：满足：埃尔米特插值多项式怎么分析误差（两种插值多项式的余项）根据插值条件构造出插值多项式并分析出它的插值余项（误差），是本章重要的两个内容。拉格朗日插值多项式埃尔米特插值多项式2.6分段低次插值一、高次插值的病态性质那么，是不是对于插值多项式来说次数越高误差越小呢？龙格现象例子：两等分三节点其中，黑色的曲线表示目标函数，红色的曲线表示抛物插值多项式（二次插值多项式）可以看到，误差较大。尝试增加节点的个数：四等分5节点蓝色的曲线表示四次插值多项式八等分9节点10等分11节点即便用10次，误差依然比较大：原因？当n趋于无穷时，上式的分子和分母都增大。二、分段线性插值当h->0时，误差也趋近于0.三、分段三次埃尔米特插值即：一阶导数连续即：Ih（x）必须满足插值条件即 在三个小区间上都必须是一个埃尔比特插值多项式它在整个区间a，b上是一阶导数连续的。接着分析三段三次埃尔比特插值多项式的误差：2.7样条插值分段低次插值函数具有一致收敛性，但是光滑性较差。比如分段线性插值多项式只能保证连续性，不能保证可导性；分段埃尔米特插值多项式只能保证一阶导数连续。对于像高速飞机的机翼形线要求二阶导数连续以减小空气阻力。一、样条插值的概念再加上插值条件，共4n-2个条件（3n-3）+(n+1).我们需要确定4n个待定系数，因此还差两个条件，通常在两个端点加上边界条件.二、三次样条插值函数的建立求三次样条插值函数常用三弯矩法和三转角法.带入之后可以确定两个待定系数c1，c2.和前面n-1个方程联立，可以得到一个n+1阶的线性代数方程组，通过求解可以得到M0~Mn的值。因此我们只需要求解n-1阶的线性微分方程组。第4章数值积分和数值微分4.1 引言一、数值求积的基本思想回顾求积分的方法：二、代数精度的概念定义1：若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式都准确成立，而对于某一个m+1次的多项式等式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式？成立。如何构造求积公式？模式一：给定节点，系数待定。模式二：节点、系数全待定三、插值型求积公式四、求积公式的收敛性和稳定性4.2 牛顿-科特斯系数一、Newton-Cotes公式的导出一、Newton-Cotes公式的代数精度定理3：若n为偶数,则n阶N - C公式至少有n+ 1次代数精度。三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项1. 梯形公式的余项2.辛普森公式的余项4.3 复化求积公式一、复化梯形公式，二、复化辛普森公式4.4龙贝格求积算法一、梯形公式的递推化（变步长求积法）由于被积函数的原函数不能用初等函数表示出来，所以我们只能采用数值积分法。二、龙贝格公式编程思想：三、理查森外推加速方法4.5高斯求积公式一、一般理论只要求解：二、高斯-勒让德求积公式第5章解线性代数方程组的直接法5.1引言与预备知识一、引言线性方程组的来源线性方程组的分类低阶稠密矩阵大型稀疏矩阵二、线性方程组的两类解法：直接法（由于舍入误差的存在，只能求得线性方程组的近似解）迭代法（用某种极限过程去逼近线性方程组精确解，存在收敛性和收敛速度的问题）回忆线性代数知识点：矩阵加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置非奇异矩阵矩阵的行列式矩阵的特征值和特征向量三、特殊矩阵1）对角矩阵2）三对角矩阵3）上三角矩阵4）上海森伯（Hessenberg）阵5）对称矩阵6）埃尔米特矩阵7）对称正定矩阵8）正交矩阵9）西矩阵10）初等置换阵11）置换阵5.2高斯消去法一、高斯消去法说明：若线性方程组的系数矩阵非奇异（行列式不等于0），则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。二、矩阵的三角分解下面建立高斯消去法与矩阵的因式分解的关系....证分解方法的唯一性：5.2第一次实验课（Matlab介绍）Matlab除了不能生孩子，什么都能干！Matlab能干啥？图像处理：生成音频：人脸识别与图像优化：生成小游戏：概括：Matlab可用其验证算法，使用C/C++实现。Matlab中定义的变量都是“矩阵”类型（数字是1*1的矩阵）常用命令：三角函数与四则运算：若不指定结果存放的变量，则使用默认ans变量：清屏命令：clc定义行/列向量：定义矩阵：求矩阵的逆：用C的思路：定义一个3*6的矩阵，用高斯消去...matlab：求矩阵的行列式：矩阵的运算：A+10表示A的每一个元素都加10：每一个元素取正弦值：矩阵的转置：不妨验证一下：若要显示小数点后更多位：显示更少位：矩阵的乘法：和python不同，python默认为对应元素相乘，matlab默认矩阵相乘。若要实现对应元素直接相乘，只需加“.”：同理，每个元素平方：取倒数：矩阵的连接：复数的引入：复数域下的矩阵：其他：效果：使得行列对角之和都是34（想到了数独）矩阵元素的引用：引用第一行/列：1-3行中2-4列的值：生成1-10：类似python生成奇数：生成随机数：保存数据：调用保存的数据：5.3高斯主元素消去法列主元消去法算法（列主元消去法）5.4矩阵的三角分解法2、选主元直接三角分解法二、平方根法应用有限元法解结构力学问题时，最后归结为求解线性代数方程组，系数矩阵往往对称正定。平方根法是一种对称正定矩阵的三角分解法，广泛用于求解系数矩阵为对称正定的线性代数方程组。设A为对称矩阵，且顺序主子式不为零，则三、解三对角方程组的追赶法第7章解非线性方程的迭代法7.1方程求根与二分法一、引言二、二分法7.2迭代法一、不动点迭代二、不动点的存在性与迭代法的收敛性三、局部收敛性与收敛阶7.3迭代收敛的加速方法一、埃特金加速收敛方法二、斯蒂芬森迭代法7.4牛顿法一、牛顿法及其收敛性二、牛顿法应用举例三、简化牛顿法与牛顿下山法四、重根情形7.4实验课4生成一个四阶单位矩阵生成一个三行四列的零矩阵生成一个三行四列的元素全是1的矩阵生成一个三行四列的元素全是2的矩阵生成一个0-1之间均匀分布的随机矩阵生成一个均值是0，方差是1的标准正态分布随机矩阵生成对角线元素是已知向量的矩阵生成行、列、对角线之和都是相同元素的矩阵提取上下三角矩阵求逆矩阵求解线性方程组线性方程组的系数矩阵：等式右边的向量：求解方法：或者：求解非线性方程组二分法求解：其中“1”表示要求解在1附近的根。求解刚才的问题（非线性方程组）：调用函数：7.5弦截法1.单点弦截法2.两点弦截法3.抛物线法7.6解非线性方程组的迭代法7.6实验课求解非线性方程组：运行函数的方法：验证方法：由于结果接近0，因此解成立练习：求解非线性方程组：fun.m% 2x1-x2=e^(-x1) % -x1+2x2=e^(-x2) function y = fun(x) y(1) = 2*x(1) - x(2) - exp(-x(1)); y(2) = -x(1) + 2*x(2) -exp(-x(2)); endUntitled2.mx0 = [1,1,1]; fsolve(@fun,x0)运行结果：第9章常微分方程初值问题数值解法9.1引言科学技术中很多问题都是用常微分方程的定解问题来描述，主要是初值问题和边值问题两大类，本章只考虑初值问题。很多物理系统与时间相关，从卫星运行轨道到单摆运动，从化学反应到物种竞争都是随时间变化的。常微分方程式描述连续变化的数学语言。9.2简单的数值方法与基本概念1、Euler方法2.梯形方法3.改进的欧拉公式（预测一校正法）实验课6用Matlab计算常微分方程：能解析出解析解的（能用初等函数表达的）：4.单步法的局部截断误差与阶9.3龙格一库塔（Runge-Kutta）法1.显式龙格—库塔法的一般形式2.二阶显式龙格—库塔方法3.三阶与四阶显式R-K方法模拟考试题一：佬温解答：
1.复数及其运算为什么要研究复变函数？复变：复数（域）作为自变量的取值范围函数：同之前学的函数以通常情况下的实数域为范围，是微积分的研究范围（极限理论、微分理论、积分理论及其他）在Complex Analysis中，若一个函数一阶导-->阶阶导可导函数在一些特定条件下，一些环路积分的积分值为零（柯西定理）建立复数特定的积分理论-->帮助计算实数域上的积分（用普通积分工具无法计算）复数：z=x+yi (x,y属于R)i是虚数单位（本身不存在）规定 ：i^2 = -1复数拓宽了方程解的范围。复数的加减乘除求复数的实部Re()与虚部Im()求某复数的共辄复数复数的辐角（Argz）和辐角主值（argz）在复平面上，复数所对应的向量与x轴正方向的夹角成为复数的辐角，显然一个复数的辐角有无穷多个，但是在区间（-π，π]内的只有一个，这个辐角就是该向量的辐角主值，也称主辐角，记为argz。Argz=argz+2nπ (n为整数)0的辐角是不存在的；辐角通常是不唯一的；辐角主值是唯一的。求模、辐角和辐角主值复数的开方代数式、三角式、指数式转换2.复数形式的方程、映射将由x、y表示的方程化为复数形式将复数形式方程化为由x、y表示的方程/直角坐标方程将x=... y=...形式的参数方程化为复数形式将复数形式的参数方程化为x=... y=...形式/一般形式已知z=*，求其在映射下的象已知arg（z）范围，求其在映射下的象已知由x、y表示的方程，求其在映射下的象小知识点两个复数（不全为实数）不能比较大小3.常见的四种初等函数计算复数的三角函数计算复数的对数函数计算复数的指数函数已知关于e^(?z)的式子，求z计算复数的幂函数