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概率论与数理统计第三章课堂笔记
知识框架:3.11第十二次上课3-1-1二维随机变量及其联合分布一、二维随机变量注意事项复习——一维随机变量的分布...
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2020/03

概率论与数理统计第三章课堂笔记

知识框架:

3.11第十二次上课

3-1-1二维随机变量及其联合分布

一、二维随机变量

注意事项

复习——一维随机变量的分布函数

定义:

二元分布函数的几何意义是:

因此,显然:概率随着点的变化而变化。

分布函数具有以下的基本性质:

上式显然大于或等于0。

小结:

练习:

3-1-2离散型随机变量的联合分布律

一、二维离散型随机变量

二、二维离散型随机变量的联合分布律

三、二维离散型随机变量联合分布律的性质

四、二维离散型随机变量的联合分布函数

注意:与联合分布率不同。

小结:

3-1-3连续型二维随机变量

一、二维连续型随机变量

二、联合概率密度f(x,y)具有以下性质:

性质2常用来求密度函数中的未知参数。

三、概率的计算

我们知道:对于一个一维随机变量X落在区间I内的概率:

引入二维随机变量的概率计算方法:

设G是平面上的一个区域,则随机点(X,Y)落在G内的概率为:

,概率等于0:

,P=

即:

四、概率密与分布函数之间的关系

(1)由密度函数的性质,得

按照概率密度函数的性质,概率密度函数在整张平面内的积分值等于1,

整张平面分为1,2,3,4象限。

由于在2,3,4象限内被积函数恒等于0,所以只需要考虑在第一象限的积分

第二象限为0.

计算可得最终结果:

五、典型分布

1、二维均匀分布

二维均匀分布几何意义:

如果二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,我们可以认为随机点(X,Y)只落在区域D内;

2、二维正态分布

小结:

练习:

课后作业:

3.16第十三次上课

3-2-1离散型随机变量的边缘分布

引入:

一、边缘分布的定义

思考:我们如何由整体分布、联合分布得到边缘分布?

预备知识:

1、联合分布函数F(x,y)

2、二维随机变量(X,Y)的样本空间

上述过程相当于模拟了一次投影过程。

已知联合分布函数求边缘分布函数

由此可知:由联合分布可以求得边缘分布;反之不真.

二、离散型随机变量的边缘分布律

联合分布律及边缘分布律

小结:

练习:

3-2-2连续型随机变量的边缘密度函数

一、连续型随机变量的边缘分布函数

同理,随机变量Y的边缘分布函数为:

二、连续性随机变量的边缘密度函数

同理,因随机变量Y的边缘分布函数为:

小结:

练习:

课后作业:

3.17第十四次上课

3-3-1离散型随机变量的条件分布律

复习:条件概率

离散型随机变量的条件分布律

概念:

由条件概率公式自然地引出如下定义:

条件分布律具有分布律的以下特性:

例题:

无极分布!

小结:

练习:

3-3-2连续型随机变量的条件分布

一、连续型随机变量的条件分布函数

由于:

所以有:

二、连续型随机变量的条件密度函数

条件密度函数的性质

注意:

上的均匀分布。

小结:

练习:

课后作业:

扩展阅读:

身高与足长的关系

3.18第十五次上课

3-4-1离散型随机变量的独立性

一、定义

二、离散型随机变量的独立性

例3:盒中有3个红球,2个白球,每次随机从中任取一个,令X表示第1次取出红球的个数Y表示第2次取出红球的个数;试判断在无放回有放回取球的情况下随机变量X与是否相互独立

小结:

3-4-2连续型随机变量的独立性

一、连续型随机变量的独立性

定义:

由于:

例题:

例1:设二维随机变量(X,Y)单位圆上服从均匀分布,试判断随机变量X与Y是否相互独立

二、二维正态随机变量的独立性

假设

上述结论可当作一个通用结论。

判断独立性的一个重要命题

三、n维随机变量的独立性

小结:

课后作业:

3.23第十六次上课

3-5-1二维离散型随机变量函数的分布

引入:

问题:

思路:

转化为与(X,Y)有关事件的概率

引例:

一、离散型随机变量函数的分布

定理1:泊松分布的可加性

定理2:二项分布可加性

由于:

所以:

小结:

练习:

3-5-2二维连续型随机变量函数分布的思路

解题思路——分布函数法

例题:

小结:

3-5-3二维连续型随机变量函数的分布

引入:

问题:

思路:

例题:

正态分布的可加性

推论:

补充:差的分布

小结:

练习:

扩展阅读:

二维连续型随机变量函数的概率密度公式的推广

二维连续型随机变量线性函数的概率密度的积分定限探析

3.24第十七次上课

3-5-4二维连续型随机变量函数的分布

引入:

问题:

思路:

例题:

补充结论:乘积的分布

小结:

3-5-5二维随机变量极值的分布

极值分布有着广泛的应用,如建高大建筑时要考虑若干年内的最大风压;造桥梁时要考虑保用期内洪水的最高水位;在一个复杂系统内要考虑各种元件组的最大或最小寿命等。

一、离散型随机变量的极值分布

再利用事件的可加性,即可求出其概率。若两变量相互独立,则计算更加方便。

例题:

二、连续型随机变量的极值分布

小结:

练习:

课后作业:

最后修改:2020 年 04 月 22 日 11 : 55 PM

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