知识框架：

3.2第七次上课

本章概述：

• 随机变量
• 随机变量的分布函数
• 离散型随机变量的概率分布
• 连续型随机变量的概率密度
• 随机变量的函数的分布

2-1-1随机变量的概念

引例

袋中有编号为1，2，3的3只黑球，编号为4，5的2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数.则该试验的样本空间为：

我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2，3.因此，X是一个变量.

但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量.

X的取值情况可由下表给出：

由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间上的函数：

定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件。例如：

随机变量（random variable）

定义：

设是试验E的样本空间，若如果对于任意实数x，集合为一随机事件，

随机变量的特点：

说明：

例题：

例1：掷一颗骰子，令：X：出现的点数。则X就是一个随机变量.它的取值为1，2，3，4，5，6。

例2：一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品。现从中取出6件，令X：取出6件产品中的次品数。则X就是一个随机变量。它的取值为0，1，2，..，6。

例3：（示性变量）
掷一枚骰子，在例1中，我们定义了随机变量X表示出现的点数.我们还可以定义其它的随机变量，例如可以定义：

等等。。

小结：

1. 随机变量的概念
2. 随机变量的特征：随机性、概率特性

2-1-2随机变量的分布函数

引例：

=60553；

=60553-49915；

=60553-29877.

计算概率则使用第三列信息。

一、随机变量的分布函数

定义：

由图象知：随着a的增大，样本点越来越多，概率越来越大。

二、分布函数的性质

上图恰恰反映了单调不减的性质。

性质2、3常用来计算分布函数中的未知参数。

例题：

三、随机事件概率的计算

如何计算随机变量X落在各种区间I内的概率？

我们知道，任何区间均可表示为半开半闭区间的并、交、逆、差等运算。例如：

如图：随着k的无限增大，将趋向于a。

例如：

由于减法公式：

因此可以进一步转化为分布函数值的形式。

由于分布函数的性质，可得以下结论：

例题：

小结：

课后作业：

参考答案：

3.3第八次上课

2-2-1离散型随机变量

一、离散型随机变量的概念

如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量。

二、离散型随机变量的分布律

说明：

离散型随机变量可完全由其分布律来刻划.

即离散型随机变量的分布规律和特征可完全由其可能取值以及取这些值的概率唯一确定。

离散型随机变量分布律的性质：

1. 非负性

1. 规范性

例题：

例1：从1~10这10个数字中随机取出5个数字，令X表示取出的5个数字中的最大值。求X的分布律.

我们把这种表格叫做随机变量分布的规律。

三、概率分布律的计算

1. 明确随机变量X的具体含义
2. 确定随机变量X的所有可能的取值
3. 根据事件的明确含义求出分布律

比如几何分布，又叫实验首次成功的分布：比如掷筛子、掷硬币，种子发芽等等

例题：

例2：产品的检验

一批产品有N件，其中有M件次品，其余N-M件为正品。现从中任意取出n件。

根据例二，我们可以得到超几何分布

超几何分布

如果随机变量X的分布列为：

则称随机变量X服从参数为（N，M，n）的超几何分布。

其诞生背景就是产品的质检。

例3：一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须被击中r次才能被摧毁。若每次击中目标的概率为p（0<p<1），且各次轰击相互独立，一次次地轰击直到摧毁目标为止。求所需轰击次数X的概率分布。

四、离散型随机变量的分布函数

设随机变量X的所有可能取值为由于对于随机变量的分布函数而言，分布函数的概念是随机变量X的取值不超过任意实数x的这个事件的概率。

所以分布函数中自变量x的取值范围一定是负无穷大到正无穷大，所以离散型随机变量的这些取值就一定把实数轴负无穷到正无穷切分为若干段。

我们不妨假设x落在了k+1段，即随机变量x落在了到当中。

所以我们为了求分布函数，就必须了解X不超过小x，到底是什么含义？

在图像中，我们进一步分割，

由于随机变量的取值，只可能落在红色的点上，而不是整个区间。因此，落在区间的集合全为空集。

所以上述计算可以简化为的并集，且的取值不会超过x，因此这些事件需要并起来，即：

并且我们知道是X取之间是两两互斥的，所以我们按照分布函数的概念，由于其中的可以表示为并事件的形式，所以他们的概率应该是相等的。

进一步可以知道由于事件彼此是两两互斥的，所以借助于有限可加性就可以得到每个事件的概率之和。但是随机变量能够取到的的特征是的取值是不允许超过x的，我们把这样的概率统统加起来，可以简单的把这种事件记为，只要没有超过超过x。

因此，

离散型随机变量的分布函数F（x）是分段阶梯函数，在X的可能取值处发生间断。

例子：假定下图是一条笔直的公路，起点在负无穷远，终点到正无穷远处。马路上放置了若干袋面粉，他们的质量大小不一，总质量为1，

这相当于一个人推着辆小推车，从起点开始往车上收集面粉，走到哪里收集到哪里。也即走到x就收到x处，包括x处的面粉（如果有的话）。

所以分布函数就是概率的累计值。

例3：

设随机变量X的分布律为：

求X的分布函数。

思考：

显然，数轴被切成了四段，由于分布函数的定义域是全体实数，所以我们需要讨论在这四段中分布函数分别是什么情况？

在图中可以看出x取3的概率为1-3/4=1/4

当知道了分布函数之后，我们就可以利用分布函数来计算随机变量落到各个点处以及落在各种区间内的概率，所以我们认为分布函数相当于给出了随机变量分布的规律。

小结：

2-2-2二项分布

一、贝努利试验

概念：

满足以下3个条件的试验

1. 试验在相同条件下可重复n次
2. 每次试验只有两种可能的结果：且
3. 每次试验的结果与其他次试验无关（这n次试验是相互独立的）

称之为n重贝努利试验。

n重贝努利试验中事件A恰好成功次的概率

（k=0,1,2...n）

由二项式定理，我们有：

推论：

例题：

例1：赛制的合理性

二、二项分布

例2：一张考卷上有10道单项选择题，每道题列出4个可能答案。某学生不会做其中四题，靠猜测能答对4道题的概率是多少？

二项分布的分布形态

例3：按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只。问20只元件中恰有k只（k=0，1…，20）一级品的概率是多少？

分析：

例4：福利彩票每周开奖一次，每次提供百万分之一的中大奖的机会。若你每周买一张彩票，十年不辍，问你至少中过一次大奖的概率是多少？

例5：福利彩票续若要以0.99的概率保证可以中得大奖，至少需要购买彩票多长时间？

三、0--1分布

0-1分布其实就是二项分布中n=1的特例！

小结：

2-2-3泊松分布

一、泊松分布

如果随机变量X的分布律为：

泊松分布的背景及应用

二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的阿尔法粒子个数时，他们做了2608次观察，每次时间为7.5秒，发现放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子数X服从泊松分布。

泊松分布的分布形态

故泊松分布中概率P{X=k}先随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少。

为方便计算，我们可以查阅泊松分布表：

二、泊松定理

概念：

下图进一步验证泊松定理的近似性（两图像之间误差较小）：

例2：设每次射击命中目标的概率为0.015，现射击600次，求至少命中3次目标的概率.

例3（人寿保险问题）：在保险公司里有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险，在每一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时，家属可在公司里领取200元。

问（1）保险公司亏本的概率是多少？

（2）保险公司获利不少于一万元的概率是多少？

例4：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。

小结：

课后作业：

3.4第九次上课

2-3-1连续型随机变量

一、连续型随机变量的概念

二、概率密度f（x）的性质

利用条件2可计算密度函数f（x）中的未知参数。

三、概率的计算

四、概率密度函数与分布函数的关系

结论：

例1：设随机变量X具有概率密度函数

由于：

在这里我们可以看出分布函数遵循累计概率：它一定是单调不减的！

检验5个元件寿命可看作一个5重伯努利试验。

令Y表示5个元件寿命不超过150小时的个数，则：

小结：

第3条中X的连续性体现在两方面：

• X可以取遍某一区间内的一切可能值
• 它的分布函数一定是从负无穷到正无穷区间上处处连续的函数

2-3-2均匀分布和指数分布

一、均匀分布

均匀分布的概率背景

均匀分布的分布函数

这恰恰体现了分布函数在整个实数轴上处处连续（X可以取遍区间内一切可能的值所以他的取值不再是离散的状态）

例1：设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求三次观测中至少有两次观测值大于3的概率。

二、指数分布

指数分布的分布函数

指数分布的应用场合

故又把指数分布称为“永远年轻”的分布。

小结：

课后作业：

扩展阅读：

概率密度函数的背景介绍：

3.9第十次上课

2-3-3正态分布的定义和性质

一、正态分布

正态概率密度函数的几何特征

正态分布的分布函数

正态分布是概率论中最重要的分布。正态分布有极其广泛的实际背景，例如测量误差；人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸：直径、长度、重量高度；炮弹的弹落点的分布等，都服从或近似服从正态分布。

正态分布是自然界和社会现象中最常见的一种分布。

二、标准正态分布

记作：

标准正态分布的分布函数表示为：

标准正态分布的图形：

标准正态分布的性质X~N（0，1）.

为了方便计算一般的正态分布（无法通过查表的情况）：

引入以下定理：

证明：

正态分布概率计算的RMI思路：

由于：

因此，

由此可知：

6σ管理法常常被用于改善企业质量流程管理的技术，以“零缺陷”的完美商业追求，带动质量大幅提高、成本大幅度降低，最终实现财务成效的提升与企业竞争力的突破。相关链接)

小结：

2-3-4正态分布的计算和应用

一、正态分布的计算

由于：

第二问中：

因此可得：

二、公交车门高度的设计

三、机器参数的控制

只需要把X<1的“1”做对应的标准化。

2-4-1离散型随机变量函数的分布

例题：

由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.

若离散型随机变量X的分布律为：

则Y=g（X）的分布律为：

小结：

课后作业：

扩展阅读：

考试成绩的标准分：

3.10第十一次上课

2-4-2连续型随机变量函数的分布

预备知识：

1. 复合函数求导的链锁法则

1. 变限定积分的求导公式

分布函数法——求解密度函数的解题思路

（1）先求Y=g（X）的分布函数

（2）利用分布函数与密度函数之间的关系，有

例题：

不难联想到：

所以，原式等于：

又因为：

所以：原式：

即：

我们用分布函数的形式成功表示出了密度函数的形式。

小结：

2-4-3连续型随机变量的函数的分布—公式法

定理1：

定理2：

定理3：

例题：

例1：

由于：

所以：

例2：

由于：

所以：

思考：

小结：

课后作业：

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