知识框架：

3.11第十二次上课

3-1-1二维随机变量及其联合分布

一、二维随机变量

注意事项

复习——一维随机变量的分布函数

定义：

二元分布函数的几何意义是：

因此，显然：概率随着点的变化而变化。

分布函数具有以下的基本性质：

上式显然大于或等于0。

小结：

练习：

3-1-2离散型随机变量的联合分布律

一、二维离散型随机变量

二、二维离散型随机变量的联合分布律

三、二维离散型随机变量联合分布律的性质

四、二维离散型随机变量的联合分布函数

注意：与联合分布率不同。

小结：

3-1-3连续型二维随机变量

一、二维连续型随机变量

二、联合概率密度f（x，y）具有以下性质：

性质2常用来求密度函数中的未知参数。

三、概率的计算

我们知道：对于一个一维随机变量X落在区间I内的概率：

引入二维随机变量的概率计算方法：

设G是平面上的一个区域，则随机点（X，Y）落在G内的概率为：

，概率等于0：

，P=

即：

四、概率密与分布函数之间的关系

解（1）由密度函数的性质，得

按照概率密度函数的性质，概率密度函数在整张平面内的积分值等于1，

整张平面分为1，2，3，4象限。

由于在2，3，4象限内被积函数恒等于0，所以只需要考虑在第一象限的积分

第二象限为0.

计算可得最终结果：

五、典型分布

1、二维均匀分布

二维均匀分布几何意义：

如果二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，我们可以认为随机点（X，Y）只落在区域D内；

2、二维正态分布

小结：

练习：

课后作业：

3.16第十三次上课

3-2-1离散型随机变量的边缘分布

引入：

一、边缘分布的定义

思考：我们如何由整体分布、联合分布得到边缘分布？

预备知识：

1、联合分布函数F（x，y）

2、二维随机变量（X，Y）的样本空间

上述过程相当于模拟了一次投影过程。

已知联合分布函数求边缘分布函数

由此可知：由联合分布可以求得边缘分布；反之不真.

二、离散型随机变量的边缘分布律

联合分布律及边缘分布律

小结：

练习：

3-2-2连续型随机变量的边缘密度函数

一、连续型随机变量的边缘分布函数

同理，随机变量Y的边缘分布函数为：

二、连续性随机变量的边缘密度函数

同理，因随机变量Y的边缘分布函数为：

小结：

练习：

课后作业：

3.17第十四次上课

3-3-1离散型随机变量的条件分布律

复习：条件概率

离散型随机变量的条件分布律

概念：

由条件概率公式自然地引出如下定义：

条件分布律具有分布律的以下特性：

例题：

无极分布！

小结：

练习：

3-3-2连续型随机变量的条件分布

一、连续型随机变量的条件分布函数

由于：

所以有：

二、连续型随机变量的条件密度函数

条件密度函数的性质

注意：

上的均匀分布。

小结：

练习：

课后作业：

扩展阅读：

身高与足长的关系

3.18第十五次上课

3-4-1离散型随机变量的独立性

一、定义

二、离散型随机变量的独立性

例3：盒中有3个红球，2个白球，每次随机从中任取一个，令X表示第1次取出红球的个数；Y表示第2次取出红球的个数；试判断在无放回和有放回取球的情况下随机变量X与是否相互独立？

小结：

3-4-2连续型随机变量的独立性

一、连续型随机变量的独立性

定义：

由于：

例题：

例1：设二维随机变量（X，Y）在单位圆上服从均匀分布，试判断随机变量X与Y是否相互独立？

二、二维正态随机变量的独立性

假设 ：

上述结论可当作一个通用结论。

判断独立性的一个重要命题

三、n维随机变量的独立性

小结：

课后作业：

3.23第十六次上课

3-5-1二维离散型随机变量函数的分布

引入：

问题：

思路：

转化为与（X，Y）有关事件的概率

引例：

一、离散型随机变量函数的分布

定理1：泊松分布的可加性

定理2：二项分布可加性

由于：

所以：

小结：

练习：

3-5-2二维连续型随机变量函数分布的思路

解题思路——分布函数法

例题：

小结：

3-5-3二维连续型随机变量函数的分布

引入：

问题：

思路：

例题：

正态分布的可加性

推论：

补充：差的分布

小结：

练习：

扩展阅读：

二维连续型随机变量函数的概率密度公式的推广

二维连续型随机变量线性函数的概率密度的积分定限探析

3.24第十七次上课

3-5-4二维连续型随机变量函数的分布

引入：

问题：

思路：

例题：

补充结论：乘积的分布

小结：

3-5-5二维随机变量极值的分布

极值分布有着广泛的应用，如建高大建筑时要考虑若干年内的最大风压；造桥梁时要考虑保用期内洪水的最高水位；在一个复杂系统内要考虑各种元件组的最大或最小寿命等。

一、离散型随机变量的极值分布

再利用事件的可加性，即可求出其概率。若两变量相互独立，则计算更加方便。

例题：

二、连续型随机变量的极值分布

小结：

练习：

课后作业：

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