知识框架:
3.11第十二次上课
3-1-1二维随机变量及其联合分布
一、二维随机变量
注意事项
复习——一维随机变量的分布函数
定义:
二元分布函数的几何意义是:
因此,显然:概率随着点的变化而变化。
分布函数具有以下的基本性质:
上式显然大于或等于0。
小结:
练习:
3-1-2离散型随机变量的联合分布律
一、二维离散型随机变量
二、二维离散型随机变量的联合分布律
三、二维离散型随机变量联合分布律的性质
四、二维离散型随机变量的联合分布函数
注意:与联合分布率不同。
小结:
3-1-3连续型二维随机变量
一、二维连续型随机变量
二、联合概率密度f(x,y)具有以下性质:
性质2常用来求密度函数中的未知参数。
三、概率的计算
我们知道:对于一个一维随机变量X落在区间I内的概率:
引入二维随机变量的概率计算方法:
设G是平面上的一个区域,则随机点(X,Y)落在G内的概率为:
,概率等于0:
,P=
即:
四、概率密与分布函数之间的关系
解(1)由密度函数的性质,得
按照概率密度函数的性质,概率密度函数在整张平面内的积分值等于1,
整张平面分为1,2,3,4象限。
由于在2,3,4象限内被积函数恒等于0,所以只需要考虑在第一象限的积分
第二象限为0.
计算可得最终结果:
五、典型分布
1、二维均匀分布
二维均匀分布几何意义:
如果二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,我们可以认为随机点(X,Y)只落在区域D内;
2、二维正态分布
小结:
练习:
课后作业:
3.16第十三次上课
3-2-1离散型随机变量的边缘分布
引入:
一、边缘分布的定义
思考:我们如何由整体分布、联合分布得到边缘分布?
预备知识:
1、联合分布函数F(x,y)
2、二维随机变量(X,Y)的样本空间
上述过程相当于模拟了一次投影过程。
已知联合分布函数求边缘分布函数
由此可知:由联合分布可以求得边缘分布;反之不真.
二、离散型随机变量的边缘分布律
联合分布律及边缘分布律
小结:
练习:
3-2-2连续型随机变量的边缘密度函数
一、连续型随机变量的边缘分布函数
同理,随机变量Y的边缘分布函数为:
二、连续性随机变量的边缘密度函数
同理,因随机变量Y的边缘分布函数为:
小结:
练习:
课后作业:
3.17第十四次上课
3-3-1离散型随机变量的条件分布律
复习:条件概率
离散型随机变量的条件分布律
概念:
由条件概率公式自然地引出如下定义:
条件分布律具有分布律的以下特性:
例题:
无极分布!
小结:
练习:
3-3-2连续型随机变量的条件分布
一、连续型随机变量的条件分布函数
由于:
所以有:
二、连续型随机变量的条件密度函数
条件密度函数的性质
注意:
上的均匀分布。
小结:
练习:
课后作业:
扩展阅读:
身高与足长的关系
3.18第十五次上课
3-4-1离散型随机变量的独立性
一、定义
二、离散型随机变量的独立性
例3:盒中有3个红球,2个白球,每次随机从中任取一个,令X表示第1次取出红球的个数;Y表示第2次取出红球的个数;试判断在无放回和有放回取球的情况下随机变量X与是否相互独立?
小结:
3-4-2连续型随机变量的独立性
一、连续型随机变量的独立性
定义:
由于:
例题:
例1:设二维随机变量(X,Y)在单位圆上服从均匀分布,试判断随机变量X与Y是否相互独立?
二、二维正态随机变量的独立性
假设 :
上述结论可当作一个通用结论。
判断独立性的一个重要命题
三、n维随机变量的独立性
小结:
课后作业:
3.23第十六次上课
3-5-1二维离散型随机变量函数的分布
引入:
问题:
思路:
转化为与(X,Y)有关事件的概率
引例:
一、离散型随机变量函数的分布
定理1:泊松分布的可加性
定理2:二项分布可加性
由于:
所以:
小结:
练习:
3-5-2二维连续型随机变量函数分布的思路
解题思路——分布函数法
例题:
小结:
3-5-3二维连续型随机变量函数的分布
引入:
问题:
思路:
例题:
正态分布的可加性
推论:
补充:差的分布
小结:
练习:
扩展阅读:
二维连续型随机变量函数的概率密度公式的推广
二维连续型随机变量线性函数的概率密度的积分定限探析
3.24第十七次上课
3-5-4二维连续型随机变量函数的分布
引入:
问题:
思路:
例题:
补充结论:乘积的分布
小结:
3-5-5二维随机变量极值的分布
极值分布有着广泛的应用,如建高大建筑时要考虑若干年内的最大风压;造桥梁时要考虑保用期内洪水的最高水位;在一个复杂系统内要考虑各种元件组的最大或最小寿命等。
一、离散型随机变量的极值分布
再利用事件的可加性,即可求出其概率。若两变量相互独立,则计算更加方便。
例题:
二、连续型随机变量的极值分布
小结:
练习:
课后作业:
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