二、建模课程一

成比例及其应用

注：

两个变量x和y成比例是相互的。
成比例的几何意义为过原点的一条直线。
变量x和y只是一个符号。

例一、测试比例性

程序实现

修改源程序，引入（0，0）点

由上图可知，弹簧的伸长量和悬挂重物的质量成比例。

拟合得出斜率k=0.0165，于是建立计算模型为e=0.0165m。

例二、开普勒第三定律

开普勒第三定律

行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。
行星在单位时间内扫过的面积不变。
行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）。

程序实现

发现图线下凸，因此考虑优化程序：

此时变成了一条上凸的图形，中间肯定有直线的过程

酵母培养物增长的模型

先画散点图

时间和酵母数量显然不成比例，那么时间和酵母增量是否成比例？

类似于二次函数的图像

模型分析

接下来考虑如何才能使得“改变量”与时间成直线关系？

引入原点

满足成比例的特性

可以看出图中散点距离有点大，因此需要学习更好的拟合方法

血流中地高辛含量衰

血流中地高辛含量衰减的模型

首先画出an和detan的散点图

引入（0，0）点：

得到一个很完美的过原点的散点图

求出斜率k：

动力系统的解法

1.线性动力系统

满足的模型。

动力系统的解法

线性动力系统解的长期趋势

动力系统的应用

1.地高辛的处方

程序实现

0.2是一个平衡点，一旦达到了这个值，系统永远停留在0.2处。
不管起初始值低于或高于平衡点，最终都会趋向于平衡点。

2.投资年金

程序实现

3.活期储蓄账户

程序实现

非线性动力系统

程序实现

改变r值为2.750，那么该非线性动力系统的解是如何形式？

再一次改变r值：

汽车租赁公司的模型

问题引入

继续尝试其他组合：

对初始条件的敏感性及长期趋势：
每一种情形在一周内都和平衡点很接近，暗示平衡点稳定且对初始条件不敏感。

基于这些研究，我们倾向于预测该系统趋于平衡点，3/7的车到A市而4/7的车到B市。这些信息对该公司是有帮助的。

数学建模的过程

原型

指人们在现实世界里所关心、研究或从事生产管理的实际对象。

模型

为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩，加以提炼而构造的原型的替代物。

模型不是原型的原封不动的复制，它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。

目的不同，建立的模型也不同

同一个原型，为了不同的目的，可以有许多不同的模型，每个模型的特征是由构造模型的目的决定的。

数学模型

用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据、图表等）加以翻译、归纳所形成的公式、图表、计算机语言等。

数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预报，再经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经过现实的检验，完成实践一理论一实践的循环。

数学建模

指人们根据客观事物的特征，分析其内部机理，弄清其因果关系，并在适当的简化假设下，利用合理的数学工具得到描述事物特征的建立数学模型的过程。

建立数学模型的过程

1.识别问题

要探究的问题是什么？这一步通常比较困难。因为现实生活中，没有人简单给你一个有待解决的数学问题，通常要从大量数据中识别所研究问题的某些特定的方面。此外，考虑到要把描述问题的口头陈述翻译成数学符号来表示，阐明问题是要足够的精确。

2.模型假设

首先，要通过减少考虑的因素的数目来进行简化；其次，必须确定余下的变量之间的关系；再次，通过假设相对简单的关系，能够降低问题的复杂性。

假设有两个主要方面：
变量分类：模型寻求解释的变量是因变量，可能有几个，余下的是自变量。每个变量分为因变量、自变量。另外还有参数。

确定选择的变量之间的相互关系：如果问题比较复杂，可以分别研究自变量中的一个或几个，建立子模型，最后把子模型合在一起。

3.求解或解释模型

如果得到一个不能求解或不会解释的难以处理的模型，应该回到第二步做出另外的简化假设，甚至回到第一步重新定义问题。

4.模型验证

常识性验证：
1、该模型是否回答了第一步识别的问题，是否偏离了构建该模型的关键问题。
2、该模型在实用意义下是否有用，即是否能收集必要的数据来运作该模型。
3、该模型是否有普遍意义。

数据检验：要考虑到第二步中假设的自变量的取值范围问题。

5.实施模型

6.维修模型（改进模型）

模型是从第一步问题识别和第二步所做的假设中推导出来的。原来的问题是否会变化？忽略的因素是否会变得重要？等等。

车辆停止距离的模型

在国外司机培训班上有下面的规定：正常的驾驶条件对车与车之间的跟随距离的要求是，每10英里的速率可以允许一辆车的长度的跟随距离，但不利的天气和道路的条件下要求更长的跟随距离。

一种简便易行的方法是2秒钟法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随距离。看着你前面的汽车刚刚驶过的一个高速公路上的一个固定点，然后默数“一干零一，一干零二”（用英文就是2秒）。如果在默数完这句话之前就到了这个记号处，那么你的车和前面的车就靠的太近了。

1.识别问题

2.模型假设

3.模型建立

4.模型检验

添加（0，0）点：

图像：

可知，成比例，求斜率k：

构建刹车距离模型：

添加（0，0）点：

图像：

利用成比例的几何意义求出斜率k：

借助反应距离模型和刹车距离模型构建总的刹车距离模型：

几何相似性及其应用

定义：如果两个物体各点之间存在着一个一一对应，使得对应点之间的距离之比都不变，则称这两个物体是几何相似的。

几何相似性性质：

不动的云层落下雨滴的速度

包饺子的数学问题

一公斤面能包一公斤馅，若面没有变，馅儿增加了，问饺子应该包的大一点还是小一点？

识别问题：饺子面、馅和饺子个数之间的函数关系。

模型假设：饺子之间是几何相似的。

鱼重量估计的模型

出于保护的目的，钓鱼俱乐部想鼓励其会员在钓到鱼后马上将它们放生。该俱乐部还希望根据钓到鱼的重量给予钓鱼者一定的奖励。

那么钓鱼者怎么能够简便确定其所钓到的鱼的重量呢？

是否可以根据鱼的某个易于测量的量来估计鱼的重量呢？

1.识别问题

根据某个容易识别的量预测鱼的重量。

2.模型假设

影响鱼重量的因素很多：种类，性别，季节等。

考虑单一的鱼种：如鲈鱼。假设鱼的平均密度不变，忽略性别和季节等因素。如果发现结果不满意，再改进模型。

3.模型建立

4.验证模型

由散点图可知，鱼的长度的立方和鱼的重量成比例，接着借助matlab求解系数k：

5.模型应用

根据模型，制成卡片

长度——重量转换卡

6.模型的优缺点

优点：简单易行。

缺点：模型只考虑了鱼的长度，而忽略了鱼的宽度，因此没有区分肥鱼和瘦鱼。

鱼重量估计的改进模型

区分胖瘦鱼

1.识别问题

2.验证模型

求出k：

所得模型可以很好的刻画刚才得到的数据。

3.模型应用

4.模型的优点

模拟拟合引言

（1）分析数据的目的

在建模过程中，需要根据不同的目的分析数据。例如，分析汽车刹车后的停止距离时，引入了子模型：

有时会遇到不同的假定导出不同的子模型的情况。

此时分析数据的目的：从一些不同的拟合模型中选取出最合适的模型。

（2）数据的采集

模型一般包含一个或多个参数，必须采集足够的数据来确定参数。下面讨论数据采集问题。

应该采集多少个数据点呢？

采集数据点的个数要在观测费用和模型要求的精确度之间权衡；
采集数据点的个数至少要与模型曲线中的参数个数一样多；
要找到最佳的拟合曲线，需要更多的数据点来确定参数。

如何确定采集数据点的间隔呢？

可以采用不等间隔进行数据采集；
在模型预期使用较多的地方，希望拟合出的曲线尽可能接近实际情况，就需要采集更多的数据点，此时应减小采集间隔；
在变量发生剧烈变化的地方，也需要减小数据采集间隔以抓住这些变化。

（3）拟合与插值的关系

问题：给定一组数据点，需确定满足特定要求的曲线。

解决方案：函数插值或曲线拟合。

函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。

1.函数插值

但是函数插值有其局限性，例如：观测数据不可避免地带有测量误差，如果要求近似曲线通过所有数据点，就会使曲线保留着测量误差，特别是当个别数据的误差较大时，插值效果就很不理想。另外观测数据个数往往很多，这时一般不要求近似曲线通过所有数据点，只要求曲线能反映数据的基本趋势，这就要用到曲线拟合。

2.曲线拟合

模型拟合的准则

绝对偏差

（1）切比雪夫近似准则

切比雪夫准则对有大偏差的单个数据点赋以更大的权重，当极小化最大绝对偏差很重要时可以采用这一准则。

（2）极小化绝对偏差之和

极小化绝对偏差之和这一准则，看起来简单，实际上不易求解。由于和式中出现了绝对值，导致其微分不连续，无法通过解析方法求出最优解。实际应用中，常用数值解法求出近似解。

（3）最小二乘准则

与前两个准则相比，最小二乘准则产生的优化问题易于解析求解。由于偏差平方和是一个连续函数，可对待定参数求偏导得到正规方程，通过正规方程来确定最优参数，进而确定出所给函数类型中的最佳函数。

最小二乘准则的应用

（1）拟合直线

推广：多项式拟合

（2）幂曲线拟合

在理论上最小二乘准则很易应用，但有时在求解上可能会出现困难。

（3）可化为线性拟合的非线性拟合

近似的最小二乘拟合：

模型拟合实例

例：车辆停止距离

为了保证行车安全，合适的跟车距离非常重要。从司机发现紧急情况需要停车到车辆完全停下来，如果不撞上前车，就是安全的跟车距离。那么，安全的跟车距离与什么因素有关？该如何确定安全的跟车距离？

问题分析：

总停止距离=反应距离+刹车距离

反应距离：从司机意识到要停车的时刻到真正刹车的时刻车辆所走过的距离。

刹车距离：从刹车后到车辆完全停下来所走过的距离。

模型一

考虑到刹车距离只能高估，不能低估，因此从安全的角度来看，该模型中速度在70以下是可取的。

模型二：

模型二整体上拟合得比模型一好，但是当车速低于30时，模型二低估了总停止距离。

总的来说，模型一物理意义明确，模型二拟合得更好，各有优缺点，我们可根据实际情况选用合适的模型。

高阶多项式模型

我们知道，对任意多项式，如果确定了多项式系数，多项式将被随即确定，我们将这n+1个二元点代入到多项式，这样的话我们得到了一个线性方程组。

该线性方程组有n+1个未知量，n+1个方程，而这n+1个未知量这就是我们要待定的多项式系数，由于这n+1个点不重复，因此该线性方程组有唯一解，将这一组解代入多项式，从而该多项式唯一确定。

对于多项式我们知道它有许多优点，如多项式形式简单；具有任意阶导数；可方便求其积分等。利用多项式建立数学模型，也具有形式简单易理解，方便操作等的优点。

如何利用多项式建立数学模型

通过高斯消去-回代法容易求得该方程组唯一的一组解：

即：

程序实现：

题外话：

高阶多项式优缺点

高阶多项式优点

高阶多项式缺点

高阶多项式的缺点主要有两个：一是在定义区间的端点处有严重的震荡现象，即龙格现象发生；二是系数对数据的微小变化很敏感。

一般的，把插值多项式不收敛的现象称作龙格现象，它说明：并非插值多项式的次数越高，其精度就越高。

三阶样条模型

三阶样条

简单概率模型

1.传送系统的效率

问题分析

进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。
可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。
工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。