知识框架:
2.17第一次上课
1-1-1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机现象
自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”,“同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数”等.
确定性现象的特征条件完全决定结果(结果可预见)。
2.随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.
实例1:在相同条件下掷一枚均匀的硬币
观察正反两面出现的情况”.
实例2:用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.
结果:“弹落点会各不相同”.
实例3:抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
结果有可能为:
“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.
实例4:“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.
其结果可能为:
正品、次品.
实例5:过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的信号灯”。
实例6:一只灯泡的寿命”可长可短.
随机现象的分类
- 1.大量性随机现象现象:
在相同条件下可以重复出现(例1-5)
- 2.个别随机现象现象:
原则上不能在相同条件下重复出现(例6)
随机现象的特征:条件不能完全决定结果(—不可预见性)
说明
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性(如生男孩还是女孩),概率论就是研究随机现象(统计规律:102-106:100)。
这种本质规律的一门数学分支.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的.
问题:什么是随机试验?
二、随机试验
- E1:抛一枚硬币,观察正面H(Heads)、反面T
- (Tails)出现的情况。
- E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正、反面出现的情况。
- E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数。
- E4:抛一颗骰子,观察出现的点数。
- E5、:记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
- E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。
- E7:记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。
随机试验简称为试验,也包括对客观事物进行的
“调查”、“观察”、或“测量”等。
随机试验的三个特征:
- 多次进行
- 结果:2个及以上且可列举
- 无法准确预见结果
三、样本空间 样本点
随机试验E的每一个可能结果称为一个样本点。
所有样本点构成的集合称为试验的样本空间,用Ω表示.
样本空间就相当于集合中的全集.
例1:
给出一组随机试验及相应的样本空间1:投一枚硬币3次,观察正面出现的次数
根据样本个数分为有限样本空间和无限样本空间。
四、随机事件的概念
随机事件发生一组成随机事件的一个样本点出现
必然事件一全体群本点组成的事件,记为Ω.
1-1-2事件之间的关系
1.包含关系
相等关系
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,则称事件A与事件B相等,记作A=B.
事件相等-->概率相等,当一事件概率不方便计算时,不妨先计算其相等事件的概率。
2.事件的并(和)
可以理解为:保密室有3把钥匙,只要有一把钥匙在场,门就能被打开。
3.事件的交(积)
可以理解为:只有3个人同时在场,保险柜才能被打开。
并事件与积事件的运算性质
4.事件的互不相容(互斥)
5.事件的差
6.事件的互逆(对立)
对立事件与互斥事件的区别
逻辑关系:
小结:
1-1-3随机事件的运算规律
设A,B,C为事件,则有事件运算与集合运算的对应关系。
(1)交换律
(2)结合律
(3)分配律
(4)吸收率
“越并越大,越交越小”
(5)重余律
- 集合中:补集的补集还是原来的集合
- 概率中:对立事件的对立还是原来的事件(敌人的敌人还是朋友)
(6)差化积
(7)对偶律
两事件至少有一个发生的对立事件是全都不发生
两事件同时发生的对立事件为至少有一个不发生
例1:设A,B,C表示样本空间中的三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.
- (1)A发生,B,C不发生;
- (2)A,B都发生,C不发生;
- (3)三个事件都发生;
- (4)三个事件都不发生;
即:图中灰色区域代表的事件。
- (5)三个事件至少有一个发生;
其他表示方法:
(a)恰有一个发生;
(b)恰有两个发生;
(c)恰有三个发生;
即:
还可以用其他方式表示:“三个事件至少有一个发生”的“其对立事件为都不发生”,即:
由于对立事件的对立事件仍为原事件:
- (6)三个事件中至少有两个发生;
与第(5)题类似,三个事件至少有两个发生可以表示为以下两种情况:
分别对应下图的紫色和绿色区域:
尝试简化:
- (7)至多有一个事件发生;
尝试分类:
(a)恰好有一个发生
(b)都不发生
- (8)三个事件至少有一个不发生;
同样以分类的思路尝试:
尝试更简洁的形式:
蓝色部分等价于至少有一个事件的对立事件发生!
例2:
注意:
小结:
随机事件的运算规律:
- 1、随机事件的交换律
- 2、随机事件的结合律
- 3、随机事件的分配律
- 4、随机事件的重余律
- 5、随机事件的对偶律
课后作业:
- 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生。
(2)A,B都发生,而C不发生。
(3)A,B,C中至少有一个发生
(4)A,B,C都发生,
(5)A,B,C都不发生,
(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生
(7)A,B,C中不多于二个发生。
(8)A,B,C中至少有二个发生。
2.18第二次上课
1-2-1频率的定义与性质
1.定义
2.性质
实例:
将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率。
很多古人做了类似的试验:
在看一个例子:
又一个例子:
从上述数据可得:
(1)频率有随机波动性,
(2)频率随n的增大呈现出渐近稳定性
重要结论:
频率当n较小时波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率。
小结:
1-2-2概率的公理化定义与性质
一、概率的公理化定义
设E是随机试验,Ω是其样本空间对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率。如果集合函数P(A)满足下列条件
(1)非负性:对于每一个事件A,有P(A)≥0
(2)规范性:对于必然事件g,有P(Ω)=1;
(3)可列可加性:设A1,A2,…是两两互不相容的
二、概率的性质
即包含的样本点越多,事件的概率越大,反之亦然。
这给了我们一种解决问题的思路:
典型的逆向思维:正难则反;顺难则逆;直难则曲
对于一个问题,如果正面突破比较困难,不妨想想其对立面;它的对立问题解决掉了,这个问题就会迎刃而解。
推广:对于任意三个随机事件A,B,C
广义加法公式
例题:
例2:把标有1,2,…,n的n个球随机放入标有1,2,...,n的n个盒子中,每盒放一球,求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率。
以第二个式子为例,i和j两球分别进入自己的盒子,则其概率为剩下的n-2个球可以在剩下的n-2个盒子中排列,排列方式(n-2)!。
那么,
最后得到的是一个无穷级数的前n项和,由于无穷级数的展开公式可得上图中的最终结果。
例3:假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率。
30人时,0.706,60人时竟达到0.994!
小结:
课后作业:
2.19第三次上课
1-3-1古典概型
1.古典概型定义
如果一个随机试验E具有以下特征:
1.有限性:试验的样本空间中仅含有有限个样本点;
2、等可能性:每个样本点出现的可能性相同。
则称该随机试验为古典概型。
2.古典概型中事件概率的计算公式
计算古典概率的步骤
- 根据实验的条件与目的准确地判别相应的样本空间与样本点的总数n。
- 找出与所关心的事件A相关的简单事件Bi;,并将所求事件A用Bi表示出来。
- 利用排列组合及加法原理和乘法原理计算事件A包含的样本点数m。
例1:将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生。
问:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?
(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?
三名优秀学生任挑一个放到第一个班级,剩下的两个挑一个放到第二个班级,最后一个优秀生当然进入第三个班;到这里任务还没完成,因为还有12名学生待分配,分配方案即上式的后三项。
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种(共有3个班),对于每一种分法,其余12名新生的分法有
,即先从剩下的12个学生中挑出两个与3个优秀生同班,剩下的10个中调5个组成一个班级,剩下5个一班...
例2:从1到1000中任意取出一个数问该数不能被2整除也不能被3整除的概率。
例3:从1~9这9个数中有放回地取出n个数,试求取出的n个数的乘积能被10整除的概率。
其中,意味着每次取的数只能在“1”,“3”,“7”,“9”中。
例4:从5双鞋子中任意随机取4只,问其中至少成双的概率。
140的来源:C 5,1 * C 8,2(思考解法一是否正确,是否有重漏现象)
其中,表示从5双里面取出一双,再从剩下4双里面取两双,在分别从两双中的每一双中取出一只。
解法二的结果和解法一的不一样!到底哪里错了?
再换一种解法:
因此,解法一错误!思考:哪里产生了重漏现象。
尝试从排列的角度思考:
小结:
1-3-2几何概型
古典概率的计算要求样本点有限。如果把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法——几何方法。
一、几何概型定义
思路:
几何—坐标系—坐标—有序数组—变量
二、几何概型计算公式
定义:当随机试验的样本空间是某个区域并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为:
三、几何概型的概率的性质
例题:约会问题
例1:甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面。先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两人能会面的概率。
解:设x,y分别为甲,乙两人到达的时刻,那么0≤x≤T,0≤y≤T。
则(x,y)即代表双方赶到指定地点的的任一一种时间组合方案,这种方案可以有无穷多种。
若以(x,y)表示平面上点的坐标,则有样本空间为:
即:
约会问题在生活中的例子:
优化交通调度等。
例2:将一段长为L的铁丝任意裁为3段,问这三段可以构成一个三角形的概率?
解:设第1、2两段长分别为x,y
整理可得:
例3(蒲丰投针实验):177年,法国科学家蒲丰( Buffon)提出了投针试验问题。平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(<a)的针,试求针与任一平行直线相交的概率。
解:以x表示针投到平面上时,针的中点M到最近的一条平行直线的距离,表示针与该平行直线的夹角。
如图所示:
那么,投针试验的所有可能结果与矩形区域中的所有点一一对应。
所以,
如图所示:
上述条件放到坐标系中:
由曲边梯形面积公式(积分、定积分)可得:
蒲丰投针试验的应用及意义:
了解:
上述思想正是蒙特卡洛仿真算法的启蒙。
小结:
课后作业:
- 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?
- 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小的号码为5的概率。
(2)求最大的号码为5的概率。
- 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?
- 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。
(1)求恰有90个次品的概率。
(2)至少有2个次品的概率。
- 某轮渡码头每天均有两艘货船随机到达,一艘装卸货时间为6小时,另一艘装卸货时间为8小时,问这两艘船至少有一艘船需要在码头外等待的概率。
2.24第四次上课
1-4-1条件概率
设A、B是某随机试验中的两个事件,且P(A)>0则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,
读作:在事件A发生的前提下,事件B发生的概率。
引例:
条件概率可以视为“概率的商”,其中,分子是竖线前后两个事件的交事件的概率,分母则是条件概率中竖线后面的事件的概率。
尝试变化一下:
记事件A:任取一球为白球,B:任取一球为木球。
则:
又因为:
所以:
求条件概率的一般思想
为了把条件概率公式的计算推广到一般情形,不妨记原来的样本空间为Ω,则有:
对上述公式作如下变形:设A,B为两个事件,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率就叫做B的条件概率。
条件概率的计算公式
设A、B是某随机试验中的两个事件,且P(A)>0,则称:
为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率。
当事件A发生后,可将事件A包含的样本点视为一个“新的缩小了的样本空间”
原先的样本空间Ω-->缩小了的样本空间A
例子:
条件概率也是概率,故具有概率的性质:
条件概率与无条件概率之间的关系:
广义加法公式
假设此时A已经发生,那么:
概率之和为1的公式
因此,即便在A发生的条件下,B与B“拔”仍然是对立事件。
差事件的条件概率公式
例题:
例1:在庙会上,有人手拿一黑色布袋,袋中有2只黑色和3只白色的兵兵球(其体积、质地完全相同),旁边立着一块小黑板:从袋中每次不放回地随机摸出2个球,现有两种方案供参与者选择:
(1)若两次都取到黑球,摊主送给摸球者10元钱,否则摸球者付给摊主3元钱
(2)若已知第一次取到黑球的条件下第二次取到黑球,摊主送给摸球者10元钱;否则摸球者付给摊主5元钱。
请计算两种方案下参与者获得10元的概率。
例2:(波利亚模型)罐子里有a个白球,b个红球,从中随机抽取一个,查看颜色后放回罐中,
(1)再同时加入c个同色球。
求第一取到红球的概率,以及在第一次取到红球的情况下第二次仍取到红球的概率。
(2)再同时加入c个异色球
例3:为了防止意外,矿井内同时装有A与B两种报警设备,已知设备甲单独使用时有效的概率为0.92,设备乙单独使用时有效的概率为0.93,在设备甲失效的条件下,设备乙有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率。
小结:
1-4-2乘法公式
一、两个事件交事件的乘法公式
由条件概率的计算公式:
可得:
类似可得:
由于AB和BA满足交换律,因此二者概率是相同的,因此这就是两个事件的乘法公式。
二、三个事件交事件的乘法公式
尝试证明:
三、n个事件交事件的乘法公式
例题:
例1:袋中有5个红球,3个黑球和2个白球,试按
(1)有放回抽样,(2)无放回抽样
两种方式摸球3次,每次摸一个,问第3次才取得白球的概率。
例2:为了防止意外,矿井内同时装有A与B两种报警设备,已知设备甲单独使用时有效的概率为0.92,设备乙单独使用时有效的概率为0.93,在设备甲失效的条件下,设备乙有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率。
续上次解答,解法二:
尝试计算其对立事件的概率:
例3(抓阄的公平性):五个阄,其中一个阄内写着“有”字,四个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
故抓阄与次序无关。
例4:假设在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2,若乙机未被击落,进行还击并击落甲机的概率为0.3;若甲机亦未被击落,再次进攻乙机,击落乙机的概率为0.4,分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。
由有限可加性和乘法公式以及对立事件的概率可得:
思考:
敏感性问题调查
如何设计一种调查方案,使被调查者对一些敏感性问题(如赌博、吸毒、作弊、行贿、偷税漏税等)愿意作出真实的回答,同时又能保守个人秘密?
赔偿责任的分割
某企业下属甲、乙、丙三个生产线,生产量分别占总量的15%、80%、5%,次品率分别为2%、1%、3%,今有顾客买到一次品而蒙受损失并向企业索赔,作为企业管理者,如何区分三车间的赔偿责任?
小结:
课后作业:
2.25第五次上课
1-5-1全概率公式
一、样本空间的划分(完备事件组)
这一组事件:
- 两两互斥
- 并集等于样本空间
二、全概率公式:
证明:
由条件:A1,A2,…,An为样本空间的一个划分,可得:
全概率公式的使用(由因索果)
全概率公式的概率树
例如我们要求事件A的概率:
遵循连线相乘,分支相加的原则即可求得。
说明:全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的有限可加性求出最终结果。
全概率公式解决问题的思路
化繁为简,化整为零(分而治之)
这种思想即曹冲称象的思想。
例题:
例2:某小组有20名射手,其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名。又若选一、二、三、四级射手参加比赛,则在比赛中射中目标的概率分别为2、6、9、3,今随机选一人参加比赛,试求该小组在比赛中射中目标的概率。
其中,第一个问号对应2、6、9、3四个数据,第二个问号对应2、6、9、3四个数据。
当i=1,2,3,4时这两个概率数值是已知的,
例3:某设备制造厂所用的产品是由三个生产车间提供的。已知各车间的次品率分别为0.02,0.01,0.03;各车间生产份额分别为0.15,0.80,0.05。
设这三个车间的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。
在仓库中随机取一产品,求它是次品的概率。
反过来看,假定三个车间总共生产了10000
件产品,按照生产配额,第一个车间生产了1500
件,第二个车间生产了8000
件,第三个车间生产了500
件。按照次品率可算得它们生产次品件数分别为:30、80、15
件。这就意味着,在整个仓库里面,次品的总量应为30+80+15=125
件,由于次品在仓库均匀分布,则随机取一件,取到次品的概率应为125/10000=0.0125
.这恰恰诠释了全概率公式化繁为简、化零为整的解题思路。
例4:
正因B1,B2的存在,才会导致事件A的发生。
小结:
1-5-2贝叶斯公式
引例:
问题1:如果我们在文章中看到了一个错误的单词,我们自然会去猜测:“这个家伙真正想输入的单词到底是什么呢?”即:
这个概率。并找出那个使得这个概率最大的猜测单词。比如作者输入:thew,那么他到底是想输入the,还是想输入thaw?到底哪个猜测可能性更大呢?
问题2:如果一个人发烧了,到医院看医生,医生根据常识知道,引起发热的原因通常有受凉、流感、新冠肺炎,那么医生需要考虑:
在以上这三个概率中,断哪种病因使得发热的可能性最大。然后才能对症下药。
温故知新:
全概率公式(由因索果)
设随机事件:
为样本空间的一个划分,B为一事件,则:
贝叶斯公式(知果溯因)
设随机事件:
为样本空间的一个划分,B为一事件,则:
Bayes公式的使用(知果溯因)
我们把事件B看作某一过程的结果,把看作该过程的若干个原因,根据历史资料,每一原因发生的概率已知,而且每一原因对结果的影响程度已知,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第i个原因引起的概率,则用Bayes公式。
例1:某设备制造厂所用的产品是由三个生产车间提供的。已知各车间的次品率分别为0.02,0.01,0.03;各车间生产份额分别为0.15,0.80,0.05。
(2)在仓库中随机取一产品,若已知取到的是次品,试分析此次品出自那个生产车间的可能性最大。
从而,按照全概率公式展开,即原因事件B1,2,3各自的概率与原因事件组对结果事件的影响的乘积。
接下来根据概率计算次品在A,B,C车间生产的概率分别是多少。
因此,划分责任时应按照这三个数据进行划分而不是只参考次品率或生产份额。
例2:
应用举例——肠癌普查
设事件A表示检查为阳性,事件B表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下:
第一行公式表示:如果患有肠癌,则检查生理指标呈阳性的概率为0.95,如果一个人没有换肠癌,检查生理指标呈阴性的概率也是0.95。后面一个数据P(B)表示在人群中筛查出来这个人患有肠癌的概率是千分之五。
对比第一行,我们可以得到第二行数据:如果一个人患有肠癌,它的生理指标也可能呈阴性(假阴性),一个人可能没有肠癌,检查时生理指标却呈阳性(假阳性),人群中没有患肠癌的概率对应第一行数据是0.995。
某患者首次检查反应为阳性,试判断该患者是否已患肠癌?
由全概率和Bayes公式得:
因此,首次检查反应为阳性,患肠癌的概率并不大。
测谎仪的作用
测谎仪常用于征兵、安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域。
令T=“检测认为一个人在说谎”;
L=“一个人真正在说谎”.
(事实说谎&&检测准确:0.88,事实没说谎&&检测准确:0.86)
假设在一次试验中,检测出被测对象在说谎,按照上面所给资料,也许很多人都认为这个人说谎的概率会很高。事实真的如此么?
事实上在安全部门的招募筛查中,大多数人都是诚实的,假设P(L)=0.01,
则L与可看做样本空间的一个划分,从而:
由全概率公式:
根据贝叶斯公式,有:
从计算结果来看,94%的检测都是错误的。如果测谎试验导致被检测者逮捕或被指控,后果该有多严重!这也显示了在一般人群中使用这种筛查的危险性。
如果检验用在嫌疑犯身上,危险性将大大降低。
因为一般疑犯说谎的概率都很高。
假设P(L)=0.5。这时我们得到,
这个概率还是可接受的。
先验概率与后验概率
称P(B)为先验概率,它是由以往的经验得到的,它是事件A发生的原因
它是得到了信息A发生,再对导致A发生的原因发生的可能性大小重新加以修正后的结果。
小结:
课后作业:
2.26第六次上课
1-6-1两个事件的独立性
一、事件的独立性
引例
向边长为1的正方形区域内投掷一质点,令:
表明事件A的发生与否对另一事件B的概率不产生影响;
表明事件B的发生与否对另一事件A的概率不产生影响。
即事件A与B呈现出某种独立性.
二、事件独立性的定义
因此,交事件概率等于各事件概率的乘积!
事件独立性的性质:
证明:
证明:
注意:在实际应用中,对于事件的独立性,我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义来加以判断的。具体的说,题目一般把独立性作为条件告诉我们,要求直接应用定义中的公式进行计算。
例2:若P(A)>0,P(B)>0,则“事件A与事件B相互独立”和“事件A与事件B互斥”不能同时成立。
小结:
1-6-2三个事件的独立性
定义:
例题:
例1:
例2:
实例:三个臭皮匠,能顶一个诸葛亮!
假设每个臭皮匠能提出正确方案的概率为0.4,诸葛亮能提出正确方案的概率为0.7,
则臭皮匠们能想到正确方案可表示为:
则臭皮匠们能想到正确方案的概率为:
而诸葛亮想到正确方案的概率:
可见,要想找出正确方案需要集体的智慧,当对一个委托百思不得其解而陷入迷茫时,多听听周围有经验的人的一些看法,很可能会让你茅塞顿开、豁然开朗。
思考题
三门火炮向同一目标射击,设三门火炮击中目标的概率分别为0.3,0.6,0.8。若有一门火炮击中目标,目标被摧毁的概率为0.2;若两门火炮击中目标,目标被摧毁的概率为0.6;若三门火炮击中目标,目标被摧毁的概率为0.9。试求目标被摧毁的概率。
小结:
1-6-3 n个事件的独立性
定义:
独立随机事件的性质
例题:
例1:
(又因为ABC相互独立,)
例2(先下手为强,后下手遭殃):
由有限可加性和独立性可知:
说明双方实力越强,先发制人的效果越明显。
但先发一定可以制人吗?
说明,当你的实力和对方相差悬殊时,先下手也不一定能最终取得胜利,像二战时日本先下手偷袭美国珍珠港,实力较弱的日本虽一时占得先机,最终还不是一败涂地?
小概率事件必然会发生
做某种随机试验E,即便某个事件A发生的概率很小,但当独立地重复做这个试验的次数足够多,则小概率事件会必然发生。
墨菲定律(Murphy's Law)
如果有两种或两种以上的方式去做某件事情,而其中一种选择方式将导致灾难,则必定有人会做出这种选择。
1. 任何事都没有表面看起来那么简单
2. 所有的事都会比你预计的时间长
3. 会出错的事总会出错
4. 如果你担心某种情况发生,那么它就更有可能发生。
小结:
思考题1:某自动火炮的命中率为0.8,现有一架敌机即将入侵,如果欲以99.9%的概率击中它,则需配备此型号火炮多少门?
思考题2:用概率的方式解释“一根筷子容易折,十根筷子坚如铁”
课后作业:
附加材料1:
附加材料2:
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